Страница № 051. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — М.: Просвещение, 2009. — 415 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, «51», 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Аналогично инфимумом ограниченного снизу непустого числового множества В называется наибольший элемент в множестве нижних границ (если он существует).

Если В — ограниченное снизу множество и т_в — множество его нижних границ, то inf В = тахт_в.

Супремум и инфимум множества также называются точной верхней границей и точной нижней границей множества соответственно.

Пример 63. Пусть А = {х е R: 0 ^ х ^ 1}. Тогда множество верхних границ А — луч [1; +оо). Число 1 — наименьший элемент в множестве верхних границ. Поэтому sup А = 1. Ш

Пример 64. Рассмотрим А = {х е Q: х² < 1}. Докажем, что множество всех его верхних границ — [1; +оо) и найдем sup А.

□ Действительно, если у ^ 1, то у² ^ 1, а тогда Vx е А у² ^ х². Неравенство у² ^ х² равносильно неравенству |г/|^|х|, откуда, с учетом того, что у — положительное число, получаем у ^ \х\. В свою очередь, \х \ > х. Итак, у ^ х.

Таким образом, все у ^ 1 являются верхними границами множества А.

Пусть теперь у < 1. Тогда Эх g Q: (у < х < 1) л (х > 0). Но х² < 1, поэтому х е А. Итак, поскольку нашелся элемент А, больший г/, взятый нами у не является верхней границей для А.

Теперь видно, что наименьшей границей среди верхних границ является число 1, значит, sup А = 1.

Итак, в данном случае множество А, состоящее из рациональных чисел, имеет своим супремумом также рациональное число. SI

Пример 65. Пусть А = {х е Q: х² < 3}. Это множество ограничено сверху, однако рационального супремума оно не имеет. SI

Итак, если ограничиваться рассмотрением множества рациональных чисел Q, то его ограниченные сверху подмножества могут как иметь супремум в Q, так и не иметь его.

Пример 66. Рассмотрим пустое множество. Разумно считать его ограниченным. Ведь, например, определение ограниченности сверху множества А можно записать так: ЗМ: Vx ((х е А) —> (х ^ М)). Если А = 0, то посылка импликации будет ложной, а значит, вся импликация — истинной. При этом истинной эта импликация будет при всех М. Таким образом, верхней границей пустого множества служит любое вещественное число. Пустое множество не имеет супремума. Иногда, впрочем, полагают для записи sup 0 = -оо. Аналогично записывают inf 0 = +оо, отмечая тот факт, что среди нижних границ пустого множества нет наибольшей. Ш _

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс (М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин) 2009

Страница № 051.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс