Страница № 097. Учебник

Учебник: Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 10 класса / М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. - 424 с.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, «97», 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

5° Если а> Ь, то при с> 0 имеем ас > Ьс, а при с < 0 имеем ас<Ьс. Иначе говоря, при умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется (т. е. получается неравенство того же смысла), а при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (т. е. получается неравенство противоположного смысла).

О Если а > Ь, то а — Ь есть число положительное. Следовательно, знак разности ас — Ьс — (а — Ь)с совпадает со знаком числа с: если с — положительное число, то и разность ас—Ьс положительна и потому ас>Ьс, а если с<0, то эта разность отрицательна и потому Ьс — ас положительно, т. е. Ьс > ас. •

6° Если а > Ь > 0 и с > d > 0, то ас >bd, т.е. если все члены двух неравенств одинакового смысла положительны, то при почленном умножении этих неравенств получается неравенство того же смысла.

О Имеем ас — bd — ас — be + be — bd = с(а — b) -+ b(c — d). Так как О О, Ь > 0, а — Ь > 0, с — d > 0, то ас — bd> 0, т. е. ас > bd. •

Замечание. Из доказательства видно, что условие d> 0 в формулировке свойства 6° несущественно: для справедливости этого свойства достаточно, чтобы были выполнены условия а> b>0, с> d_y с>0. Если же (при выполнении неравенств a>b,c>d) числа а, b, с не будут все положительными, то неравенство ас > bd может не выполняться. Например, при а = 2, b — I, с = —2, d = — 3 имеем а > Ь, с> d, но неравенство ас > bd (т. е. —4 > —3) не выполнено. Таким образом, требование положительности чисел а, Ь_у с в формулировке свойства 6° существенно.

Выше мы доказали несколько свойств неравенств, записанных с помощью знака > (больше). Однако все эти свойства можно было бы формулировать с помощью знака < (меньше), так как неравенство Ь<а означает, по определению, то же самое, что и неравенство а>Ь. Кроме того, как это нетрудно проверить, доказанные выше свойства сохраняются и для нестрогих неравенств. Например, свойство 1° для нестрогих неравенств будет иметь следующий вид: если а ^ Ь и Ь ^ с, то а ^ с.

7°. Если а^Ь> 0 и с> d> 0, то ~ > - (деление неравенств)

Числитель дроби, стоящей в правой части, положителен (см. свойства

5° и 6°), знаменатель также положителен. Следовательно, - — ->0.

Замечание. Отметим важный частный случай правила 7°, получающийся при a = b= 1: если члены неравенств положительны, то при переходе к обратным

Алгебра. Начала математического анализа, 10 класс (М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев) 2007

Страница № 097.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс