Страница № 036. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2009. — 430 с.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, «36», 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

При решении многих задач используется следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Если каждое из двух натуральных чисел а и Ъ делится на натуральное число с, то их сумма и разность делятся на с.

Если два натуральных числа тип имеют наибольший общий делитель d, то пишут d = (т, п). Если d = 1, то числа тип называют взаимно простыми числами.

Докажем, например, что числа 2005 и 2011 взаимно простые.

Если числа 2005 и 2011 имеют общий делитель d, то по теореме 1 их разность б делится на d. Таким образом, общие делители чисел 2005 и 2011 надо искать среди делителей числа 6. Но 2005 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 6. Следовательно, (2005, 2011) = 1, т. е. числа 2005 и 2011 взаимно простые, что и требовалось доказать.

ЛЕММА. Пусть натуральные числа т, п и q таковы, что п = mq и п имеет делитель d такой, что (m, d) = 1, тогда число q делится на d.

Например, 777 делится на 7, а (7, 3) = 1, тогда из равенства 777 = 3 • 259 следует, что 259 делится на 7.

2. Деление целых чисел с остатком. Разделить с остатком целое число а на отличное от нуля целое число Ъ — значит найти два таких целых числа q и г, что

и при этом число q называют неполным частным, число г — остатком.

Подчеркнем, что в этом определении г — число неотрицательное.

Если г = 0, то говорят, что число а делится на Ь нацело и тогда q называют полным частным, а число Ь — делителем числа а.

Рассмотрим случай деления на натуральное число Ь.

ТЕОРЕМА 2. Для любой пары чисел а е Z и Ь е N существует и притом только одна пара целых чисел г и q таких, что выполняются условия (1) и (2).

1) Пусть а = 0, Ъ <= N, тогда пара г = q = 0 удовлетворяет условиям (1) и (2).

Как следствие Архимедова свойства действительных чисел получим, что существует целое неотрицательное число k такое, что bk < а < b (k + 1).

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) 2009

Страница № 036.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс