Страница № 037. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2009. — 430 с.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, «37», 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Но тогда а = bk + г, где г = а - bk > 0 и г <Ь, так как г = а - bk < b (ft + 1) - bk = b.

Это значит, что нашлись q и г, удовлетворяющие условиям (1) и (2).

3) Пусть а отрицательно и | а | е N, b е N, тогда по доказанному в пункте 2) существуют целые числа q_x и г_х, такие, что | а | = = bq_x + rj и 0 $ rj < й.

Так как | а | = -а, то отсюда получаем, что -а = bq_х + г_х или а = -bq_x - г_х.

Если г_х = 0, то обозначив q — -q_x, получим, что справедливо равенство а = bq + 0.

Если г_х > 0, то обозначив q = ~(q_x + 1), г = b - г_х, получим, что справедливо равенство а = bq + г, где 0 *£ г < Ь.

Это значит, что нашлись целые числа q и г, удовлетворяющие условиям теоремы.

Итак, показано, что для любых а е Z и b е N существует пара целых чисел q и г, удовлетворяющая условиям (1) и (2). Докажем теперь, что такая пара единственная.

Предположим противное: пусть справедливы два равенства:

Предположим, что q₂ > q_x, тогда из равенства (3) следует, что r_x = b (q₂ - q_x) + r₂> b. Получилось противоречие с условием г_х < Ь.

Если предположим, что q₂ < q_x, то тоже получим противоречие. Следовательно, q₂ = q_x, но тогда и г_х = г₂. А это означает, что пара q и г единственная. Теорема 2 доказана.

При делении целого числа а на натуральное число m может получиться только т остатков: 0, 1, 2, 3, ... , т - 1. Поэтому множество Z всех целых чисел можно разбить на т непересекающихся классов, в каждый из которых входят те и только те целые числа, которые при делении на т дают остаток г(г= 0, 1, 2, ... , т - 1). Это свойство целых чисел часто применяют при решении задач.

ПРИМЕР. Найдем все целые числа, которые при делении на 3 дают остаток 2, а при делении на 2 дают остаток 1.

При делении на 6 могут получиться остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5. Разобьем множество всех целых чисел на т непересекающихся классов чисел вида 6га + г, где г = 0, 1, 2, ..., 5.

Нетрудно убедиться, что лишь для чисел, имеющих вид 6л + 5, где п е Z, выполняются оба условия задачи.

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) 2009

Страница № 037.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс