Страница № 033. Учебник

Учебник: Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. — 6-е изд. — М.: Просвещение, 1998. — 288 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, «33», 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

жит F и S (Ф₂)—S (Ф1)<е. Для построения этих многоугольников разделим отрезок [а, 6] на п равных частей точками а— =jco<*i <•••<Xn-i<Xn = b и проведем через эти точки прямые, параллельные оси ординат. Эти прямые разбивают криволинейную трапецию F на части F₀, F1,..., F_n-1. На каждом отрезке [х_к, лс*_ i] построим два прямоугольника: один с высотой f (xi,), а другой с высотой /(jct+i). В силу возрастания функции f первый из этих прямоугольников содержится в соответствующей части Ft криволинейной трапеции, а второй содержит эту часть. Поэтому, объединяя первые прямоугольники для всех k, 0^.k^.n— 1, получим ступенчатую фигуру Ф|, содержащуюся в F. Аналогично, объединяя вторые прямоугольники, получаем ступенчатую фигуру Ф₂, содержащую F.

Покажем, что при достаточно большом п разность площадей построенных ступенчатых фигур станет меньше, чем е. Для этого заметим, что площадь первой ступенчатой фигуры равна

S (Ф₂)—S (Ф.)-*=2. и (x_n)-f (Хо)] или, поскольку f(x₀)=f(a), f(x_n)=f(b),

Отсюда ясно, что при достаточно большом п указанная разность станет меньше, чем е.

Квадрируемость криволинейной трапеции при указанном в теореме условии на функцию f доказана. Очевидно, что она имеет место и в том случае, когда отрезок [а, ft] можно разбить на т частей так, чтобы на каждой из них функция f была монотонна (каждую часть мы считаем отрезком, т. е. причисляем к ней ее концы). В этом случае функция имеет на отрезке [а, b] конечное число экстремумов.

Более сложные рассуждения, которые мы опускаем, показывают, что квадрируемость имеет место и в случае, когда функция f непрерывна на отрезке [а, Ь] и имеет на этом отрезке бесконечно много максимумов и минимумов. Примером такой функции может служить на отрезке [0; 1] функция

Алгебра и математический анализ для 11 класса (Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд) 1998

Страница № 033.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс