Страница № 112. Учебник

Учебник: Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. — 6-е изд. — М.: Просвещение, 1998. — 288 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, «112», 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

я>0 — четное число, n=2k, то любой корень уравнения А^п (х)= =В^л (х) удовлетворяет хотя бы одному из уравнений: А (х)= =В (х) и А (х)— —В (х).

Доказательство. Пусть а — корень уравнения А (х)= =В (х). Тогда А (а)=В (а), и потому А" (а)=В^я (а), т. е. а — корень уравнения А^п (х)—В^п (х). Таким образом, всякий корень уравнения Л (x)=fl (jc) является корнем уравнения А" (х)= =В^п(х).

Обратно, пусть а— корень уравнения А^п (х)=В^п (х), т. е. А^п (а)—В^п (а). Если п нечетно, то отсюда вытекает, что А (а)= =В (а), и потому а — корень уравнения А (х)=В (х). Значит, при нечетном п уравнения А (х)=В (х) и А^п(х)=В^п (х) равносильны.

Если же п четно, то равенство А^п (а)=В^п (а) может иметь место либо при А(а)=В(а), либо при А(а)=—В(а), а потому а является корнем по крайней мере одного из уравнений: А (х)=

Из теоремы следует, что если в ходе решения иррационального уравнения А (х)=В(х) приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могут появиться посторонние корни, т. е. корни уравнения Л (.*)=—-В (дс). Чтобы отделить их, следует проверить найденные корни, подставив их в исходное уравнение. Появление посторонних корней при возведении обеих частей уравнения в степень с четным показателем возможно и из-за изменения области существования.

Чтобы отделить посторонние корни, не всегда необходимо подставлять найденные корни в данное уравнение. Разберем два важ-ных вида иррациональных уравнений: уравнение вида ²^А (х) =

=В(х) и уравнение вида ^А (х)=²ЦВ (х), где А (х) и В (х) — рациональные выражения, a k — натуральное число. Так как

значения ²\JA (х) всегда неотрицательны, то справедливо следующее утверждение:

Уравнение вида 4JA (х)—В (х) равносильно системе, состоящей из уравнения А (х)=В^2к (х) и неравенства В (х)^0:

В самом деле, по определению корня из числа равенство ²\fAjx)—B (jc) означает, что А (х)=В^2Л(х), причем В (х) ^ 0.

Аналогично доказывается, что уравнение ²KjA (х) = ²\]В (х) равносильно системе, состоящей из уравнения А(х)=В(х) и неравенства В(дс)>0:

Алгебра и математический анализ для 11 класса (Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд) 1998

Страница № 112.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс