Страница № 225. Учебник

Учебник: Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. — 6-е изд. — М.: Просвещение, 1998. — 288 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, «225», 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

ется кортежем из декартова произведения АхАхВХВхВ. Так как п(А)=32, п (В)= 10, то по формуле (2) имеем:

При решении некоторых комбинаторных задач приходится иметь дело с более общей ситуацией, чем рассмотренная выше. Она описывается следующей теоремой:

Теорема 3. Пусть задано отображение конечного множества X на множество Y, причем в каждый элемент множества Y отображается одно и то оке число элементов множества X. Тогда число элементов в X равно произведению числа элементов в Y на число элементов, отображающихся в каждый элемент множества Y.

Доказательство. Множество X распадается на попарно непересекающиеся подмножества — полные прообразы элементов множества Y при отображении f- Поэтому число элементов в X равно сумме чисел элементов в этих прообразах, а число прообразов равно числу элементов в Y. По условию все прообразы имеют поровну элементов. Поэтому п (X) равно сумме п (Y) равных слагаемых, т. е. произведению п (Y) и числа элементов в каждом прообразе.

Отметим, что теорема 1 является частным случаем теоремы 3: достаточно рассмотреть отображение (а, b)-+b множества АХВ на В. Видим, что прообраз каждого Ь£В содержит п (Л) элементов, а в В содержится п (В) элементов. Поэтому п (А X В)=п (А) • п (В).

Пример 2. Сколько упорядоченных пар можно составить из 32 букв, если в каждой паре обе буквы различны?

Решение. Поставим в соответствие каждой паре букв первую букву этой пары. Получим отображение множества Y пар требуемого вида на множество X букв. Полный прообраз каждой буквы содержит 31 букву (все буквы, кроме данной). Поэтому число пар требуемого вида равно 32*31=992.

Заметим, что множество пар в этом примере не было декартовым произведением двух множеств. Аналогично можно найти число троек, в которых никакие две одинаковые буквы не идут подряд. Такие тройки записываются в виде (а, Ь, с), где афЬ и Ьфс. При отображении (а, Ь, с)-*-(а, Ь) каждая пара (а, Ь) имеет полный прообраз из 31 тройки. Так как число пар равно 32*31, то число троек равно 32*31²=30752.

Решение задач такого типа можно проводить также на основе следующего утверждения, обобщающего теорему 2.

Если первую координату кортежа длины k можно выбрать п\ способами, при любом выборе первой координаты вторая выбирается п-2 способами, при любом выборе первых двух координат третья выбирается пз способами и т. д. до k-й координаты включительно, то общее число получаемых таким образом кортежей равно П\Пч ... я*.

Алгебра и математический анализ для 11 класса (Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд) 1998

Страница № 225.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс