Страница № 034. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — М.: Просвещение, 2010. — 463 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, «34», 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430, 431, 432, 433, 434, 435, 436, 437, 438, 439, 440, 441, 442, 443, 444, 445, 446, 447, 448, 449, 450, 451, 452, 453, 454, 455, 456, 457, 458, 459, 460, 461, 462, 463

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

□ доказательство. Пусть для опре-делённости А < В. Возьмём произвольное число С е (А; В). Рассмотрим вспомогательную функцию ср(л:) = f(x) - С. Она непрерывна на отрезке [а; Ъ] как разность непрерывных функций и принимает на его концах значения разных знаков: ср(а) = f(a) - С = А — С < О, ф(6) = f(b) - С = В - С > 0. Тогда по первой теореме Больцано — Коши Зс е (а; Ъ): ф(с) = 0, т. е. f(c) - С = 0, или f(c) = С (рис. 8.17). 11

Замечание. Первая теорема Больцано — Коши является частным случаем второй теоремы (достаточно во второй теореме положить А < 0, В > 0 и С = 0).

Следствие. Если функция, отличная от константы, определена и непрерывна на промежутке (а; 6), то её множество значений также представляет собой промежуток.

□ Пусть М — sup f(x), если функция f ограничена сверху на (а; Ъ);

в противном случае положим М = +оо. Аналогично т — inf f(x), если

функция f ограничена снизу на (а; Ъ), в противном случае т = -оо.

Возьмём произвольное у₀ е (т; М) и выберем пару значений функции у_г и у₂ так, что т < у_х < у₀ < у₂ < М. Это заведомо возможно сделать по определению точных границ. Пусть yi = f(x₁) и y₂-f{^x2)• (Для определённости пусть х_г < х₂.) Согласно второй теореме Больцано — Коши для функции f на отрезке [х_г; х₂] с (а; Ъ) Зх₀ е (х_г; х₂): f(xо) = У09 т. е. число у₀ действительно есть значение функции f в некоторой точке промежутка (а; Ъ). Таким образом, множеством значений непрерывной функции на промежутке (а; Ъ) является промежуток (т; М). 11

Утверждения теорем Больцано — Коши часто используются для доказательства существования корней уравнений.

Пример 20. Докажем, что уравнение (х - а)(х - Ъ) + (х - с)(х - Ъ) + + (х - а) (х — с) = 0 имеет два различных корня, если числа а, 6 и с различны.

□ Действительно, рассмотрим f(x) = (х - а) (х - Ъ) + (х - с)(х - Ъ) + + (х - а) (х - с). Пусть, не умаляя общности, а < b < с. Тогда f(a) > 0, f(b) < 0, f(c) > 0. Значит, по первой теореме Больцано — Коши f(x) имеет по крайней мере один корень на интервале (а; Ь) и по крайней мере один корень на интервале (6; с). Поскольку f — многочлен второй степени, то более двух корней он иметь не может. 11

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс (М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин) 2010

Страница № 034.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс