Страница № 110. Учебник

Учебник: Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 11 класса / М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 384 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, «110», 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Теорема 2. Если функции у = ср(х) uz — f(y) дифференцируемы соответственно в точках xq и у о, где у о = ср(х о), то сложная функция z = f(cp(x)) дифференцируема в точке Xq, причем

*ОИз существования производных <j/(xo) и f'(yo) следует (§ 1, п. 2), что функции у = (р{х) и z = f(y) непрерывны соответственно в точках х₀ и y_0l где у₀ = <р(х₀).

Тогда сложная функция z = определена в некоторой

окрестности точки xq и непрерывна в этой точке (гл. IX, § 4, п. 3).

Так как функции z = f(y) и у = ср(х) дифференцируемы в точках Уо и xq, то из определения производной (§ 1, п. 2) следует, что их приращения представимы в виде

Функция е(Ау) не определена при Ау = 0. Доопределим эту функцию в точке 0, положив е(0) = 0. Тогда равенство (7) окажется верным и при Ау = 0.

Считая, что в равенстве (8) приращение Ау определяется приращением Ах, выразим Az через Ах, подставляя Ау из равенства (8) в равенство (7).

Az = f(y₀)cp^,(x₀)Ax + f(y₀)e_l(Ax) ■ Ax + e(Ay) ■ Ay. (9) Поделив обе части равенства (9) на Ах, где Ах Ф 0, получим

Так как £i(Ax)—>0 при Дх—>0, Ау—> 0 при Дх—>0 (равенство (8)), а хрЧхо), то, переходя к пределу в равенстве (10) при Дх—>0,

Замечание 1. Условие е(0) = 0 связано с тем, что А у может оказаться равным нулю при Ах ф 0.

Замечание 2. Согласно теореме 2 для нахождения производной сложной функции z — f{y) — f(cp(x)) в точке х нужно перемножить производные f(y) и у' — </(х), заменив у на ср(х).

Алгебра. Начала математического анализа, 11 класс (М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев) 2008

Страница № 110.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс