Страница № 156. Учебник

Учебник: Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 11 класса / М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 384 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, «156», 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Функции на рис. 21-22 монотонны на интервале (а; Ь): первая возрастает, вторая убывает; на рис. 23 изображена функция, которая не является монотонной на этом интервале. Однако все кривые — графики функций (рис. 21-23) обладают общим свойством. Каждая из этих кривых лежит выше касательной к этой кривой в любой точке с абсциссой xq этого интервала. Такие функции (и их графики) называют выпуклыми вниз.

Установим связь между выпуклостью функции и второй производной этой функции. Для этого сначала рассмотрим поведение первой производной выпуклой функции (рис. 24).

Так как первая производная равна тангенсу угла между осью Ох и касательной к графику функции, то из рис. 24 видно, что для выпуклой вверх функции ее первая производная убывает на интервале (а;Ь), а это означает, что ее вторая производная отрицательна.

Аналогично можно показать, что для выпуклой вниз функции ее вторая производная положительна.

Справедливо и обратное утверждение: если функция /(х) имеет на интервале (a\b) вторую производную f{x) и /"(х)<0, то функция /(х) выпукла вверх, а если f^l(x) > 0, то выпукла вниз.

Интервалы, на которых функция выпукла вверх или вниз, называют интервалами выпуклости этой функции.

Пример 2. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз функции /(х), если:

Д 1) Так как f^f{x) = 6х, то /"(х) < 0 при х < 0 и /"(х) > 0 при х > 0.

Поэтому функция у = х³ выпукла вверх при х<0 и выпукла вниз при х > 0 (рис. 25).

2) Так как у = sin х — периодическая функция с периодом 2к (рис. 26), то будем ее рассматривать на интервале (—л; я)

Если y = sinx, то f^l(x) = — sinx, откуда следует, что/"(х)>0 при х Е (—7г;0) и f"(x) < 0 при хб(0;7г). Поэтому функция у = /(х) выпукла вниз на интервале (—тг; 0) и выпукла вверх на интервале (0; тг).

Алгебра. Начала математического анализа, 11 класс (М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев) 2008

Страница № 156.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс