Страница № 053. Учебник

Учебник: Геометрия: Учеб. для учащихся 10 кл. с углубл. изуч. математики / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик.— М.: Просвещение, 1999. — 238 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, «53», 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

С другой стороны, утверждение единственности означает, что не может существовать двух предметов или, как обычно говорят, существует не более одного предмета. Так что либо предмет существует и он только один, либо его нет вовсе. Так, через три точки проходит не более одной окружности. Но может не проходить ни одной, так будет, когда три точки лежат на одной прямой.

Теоремы существования и единственности составляют важную часть разных разделов математики, не только геометрии, но и алгебры, анализа и других областей математики. _х

Классический пример утверждений существования и единственности из планиметрии: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, ей параллельная, и притом только одна. Существование такой прямой доказывается: имеет место теорема существования прямой, параллельной данной. Единственность же составляет содержание аксиомы о параллельных прямых.

Единственность часто доказывается методом от противного, т. е. предполагают, что имеется два объекта, удовлетворяющие данному условию, и приходят к противоречию. Так была доказана единственность в теореме 2.1 о прямой, проходящей через две точки. •*.;

Если же в теореме утверждается существование и единственность некоторого объекта и сначала доказывается существование построением этого объекта, то часто затем его единственность доказывается так: устанавливают, что любой объект, удовлетворяющий условию теоремы, совпадает с уже построенным. Так была доказана единственность в теоремах 2.3 и 3.1. В дальнейшем применяются оба эти способа при доказательствах единственности.

5.2. Построения в пространстве как теоремы существования

В сформулированных нами аксиомах и: первых теоремах говорится о принципиальной возможности выполнить некоторые реальные построения: провести прямую через две точки — натянуть веревку между двумя колышками; провести плоскость через три точки — уложить плоский предмет на три опоры,

Геометрия, 10 класс (А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик) 1999

Страница № 053.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

5.2. Построения в пространстве как теоремы существования

Учебники по геометрии за 7 класс

Учебники по геометрии за 8 класс

Учебники по геометрии за 9 класс

Учебники по геометрии за 10 класс

Учебники по геометрии за 11 класс