Страница № 077. Учебник

Учебник: Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 10-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2010. — 384 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, «77», 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Нас будет интересовать случай, когда а и b (Ь ^ 0) — целые числа и частное от деления а на Ь также является целым числом, т. е. когда существует целое число k такое, что а = bk. В таком случае говорят, что «а делится на b нацело» или, короче: «а делится на Ь».

Определение. Целое число а делится на целое число Ь, не равное нулю, если существует такое целое число fe, что a = bk.

Например, 56 делится на -8, так как 56 = (-8) • (-7), где -7 — целое число, а 78 не делится на -8, так как не существует такого целого числа ft, для которого верно равенство 78 = (-8)fe.

Если а делится на b, то число b называют делителем числа а, а число а — кратным числа Ь. Говорят также, что «а кратно Ь». Например, делителями числа 4 являются числа 1, -1, 2, -2, 4, -4. Кратными числа 4 являются числа 4, -4, 8, -8, 12, -12 и т. д., вообще любое число вида 4т, где т € Z.

Рассмотрим некоторые свойства делимости (буквами обозначены целые числа).

1. Всякое число а, отличное от нуля, делится на себя.

2. Нуль делится на любое число Ь, не равное нулю.

3. Если а делится на b (Ь ^ О) и b делится на с (с ^ О), то а делится на с.

4. Если а делится на b (Ь ^ О) и b делится на а (а ^ О), то числа а и Ь либо равны, либо являются противоположными числами.

Справедливость первого свойства вытекает из того, что равенство а • 1 = а верно при любом а, а второго — из того, что равенство b • 0 = 0 верно при любом b ф 0.

Докажем справедливость третьего свойства. Из определения делимости следует, что а = bk, b = cm, где k и т — целые числа. Отсюда а = (cm)ft, т. е. в силу сочетательного свойства умножения а = c(mk), где mk — целое число, а это означает, что а делится на с.

Докажем теперь справедливость четвертого свойства. Из определения делимости следует, что а = bk и b = am, где k и т — целые числа. Отсюда а = (am)ft, т. е. a = a (mk). Так как а ^ 0, то mk = 1. Однако mk = 1 для целых чисел т и k тогда и только тогда, когда оба числа т и k равны 1 или равны -1. В первом случае числа а и b равны, во втором — они отличаются только знаком.

Определение и свойства делимости находят применение при решении задач.

Алгебра, 8 класс (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов) 2010

Страница № 077.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс