Страница № 012. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 6-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009. — 424 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, «12», 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424, 425

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 (а = 7 нас уже не устраивает, поскольку в этом случае d-аЛ- 3 = 10 — не цифра; тем более нас не устраивают значения а = 8, а - 9), убеждаемся, что соотношение (4а + 11): 9 выполняется лишь при а - 4; в этом случае выражение 4а + 11 принимает значение 27, т. е. делится на 9.

Если а = 4, то следующие три цифры искомого числа — 5, 6, 7, а само искомое число — 45 675.

Завершая разговор о делимости натуральных чисел, рассмотрим более сложные признаки делимости на 11, на 7 и на 13.

Проведем вспомогательные рассуждения, которые позволят получить признак делимости на 11.

Рассмотрим числа 99, 9999, 999 999, 99 999 999 и т. д.; в каждом из этих чисел — четное число девяток. Все эти числа, во-первых, делятся на 11, а во-вторых, представимы в виде, соответственно, 10² - 1, 10⁴ - 1, 10⁶ - 1, 10⁸ - 1 и т. д.

Рассмотрим теперь числа 11, 1001, 100 001, 10 000 001 и т. д.; в каждом из этих чисел — четное число нулей между единицами. Все эти числа, во-первых, делятся на 11 (поскольку 1001 = 990 + 11, 100 001 = 99 990 + 11,

10 000 001 = 9 999 990 + 11; в записанных суммах первые слагаемые делятся на 11), а во-вторых, представимы в виде, соответственно, 10¹ + 1, 10³ + 1, 10⁵ + 1, 10⁷ + 1 и т. д.

Признак делимости на 11. Для того чтобы натуральное число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма его цифр, взятых со знаком «плюс», если цифры находятся на нечетных местах (начиная с цифры единиц), и взятых со знаком «минус», если цифры находятся на четных местах, делилась на 11.

Например, для числа 24 569 алгебраическая сумма, о которой идет речь в формулировке признака, имеет вид 9-6Н-5-4 + 2, она равна 6; поскольку число 6 не делится на 11, то и число 24 569 не делится на 11.

Для иллюстрации идеи доказательства признака возьмем 8-значное число abcdefkm.

abcdefkm = а • 10⁷ + Ь • 10® + с • 10⁵ + d • 10⁴ + е • 10³ +

+ /• 10² + k • 10 + т = (а • (10⁷ + 1) - а) + (Ь ■ (10^е - 1) + Ь) +

+ (с • (10⁵ + 1) - с) + (d ■ (10⁴ - 1) + d) + (е ■ (10³ + 1) - е) +

= а (10⁷ + 1) + Ь ■ (10^е - 1) + с • (10⁵ + 1) + d ■ (10⁴ - 1) + е • (10³ + 1) + + f ■ (10² - 1) + k ■ (10 + 1) + (т — k + f - е + d - с + b - а).

Поскольку, как мы уже ранее установили, числа 10⁷ + 1, 10® - 1, 10⁵ + 1, 10⁴ - 1, 10³ + 1, 10² - 1, 10¹ + 1 делятся на 11, делимость числа

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 2009

Страница № 012.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс