Страница № 047. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 6-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009. — 424 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, «47», 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424, 425

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Гипотеза подтвердилась. На самом деле сформулированное утверждение верно, мы докажем его позднее.

3) Рассматривается последовательность у_п = п² + п + 17. Выпишем первые семь ее членов:

У\ = 19; У₂ = 23; у_г = 29; у₄ = 37; у_ь = 47; у₆ = 59; у₇ = 73.

Все полученные числа простые. Возникает предположение: вся последовательность состоит из простых чисел. Проверим это для следующих четырех членов последовательности: у_ъ = 89; у₉ = 107; у_ю = 127; у_и = 149. Числа 89, 107, 127, 149 — простые, гипотеза подтвердилась. И тем не менее она неверна: есть в последовательности члены, не являющиеся простыми числами, например,

у₁₆ = 16² + 16 + 17 = 16(16 + 1) + 17 = 17(16 + 1) = 17 - 17 — составное число.

Итак, утверждение, полученное неполной индукцией, остается лишь гипотезой, пока оно не доказано точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Иными словами, неполная индукция не считается в математике методом строгого доказательства, она может привести к ошибке. Однако замечательно то, что она иногда приводит к истине. Можно охарактеризовать неполную индукцию как эвристический (от греческого heurisko — «отыскиваю») метод открытия новых истин.

Метод полной индукции имеет в математике ограниченные применения, поскольку охватывает лишь ситуации с конечным числом частных случаев. Чаще всего математическое утверждение охватывает бесконечное множество частных случаев, когда сделать проверку для всех случаев невозможно. Опираться при этом на неполную индукцию опасно, можно сделать неправильный вывод. Во многих случаях выход заключается в обращении к особому методу рассуждений, который называют методом математической индукции. Суть его разъясним на примере.

Рассмотрим арифметическую прогрессию а₁₉ а₂, а₂, ... , а_л, ... . По определению арифметической прогрессии, а_{п + 1} = а_п + d, значит,

^ai — и ₂ — + d₉ «з = а₂ + d = (ai + d) + d = а_г + 2d, ^a4 = ^аз + ^ ⁼ (^a\ 2d) + d = a_x + 3d, a₅= a₄ + d = (a_x + 3d) + d = a_x + 4d и т. д.

Нетрудно догадаться, что для любого номера п справедливо Равенство

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 2009

Страница № 047.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс