Страница № 014. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 6-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009. — 424 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, «14», 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424, 425

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Определение 2. Если натуральное число имеет только два делителя — само себя и 1, то его называют простым числом; если оно имеет более двух делителей, то его называют составным числом. Число 1, имеющее лишь один делитель — 1, не относят ни к простым, ни к составным.

Например, числа 2, 3, 5, 7, 19, 101 — простые, а числа 4, 6, 8,

Отметим очередное (десятое) свойство делимости чисел.

Теорема 1. Любое натуральное число а > 1 имеет хотя бы один простой делитель.

Доказательство. Если а — простое число, то а = а • 1, откуда следует, что у заданного числа есть простой делитель а. Пусть теперь а — составное число. Тогда его можно представить в виде а = а_хс₁₉ где оба множителя отличны от 1 и меньше а. Если хотя бы один из множителей — простое число, то свойство доказано. Если оба множителя — составные числа, то рассмотрим число а_х и представим его в виде а_г = а₂с₂, где оба множителя отличны от 1 и меньше а_х. Если хотя бы один из множителей — простое число, то свойство доказано, если нет, то представим а₂ в виде произведения чисел, меньших, чем а₂, и т. д. Тогда либо на каком-то шаге обнаружится простой множитель, либо придется предположить, что процесс составления чисел а₁₉ а₂, а₃, а₄ и т. д. бесконечен. Но бесконечным он быть не может, поскольку все указанные числа меньше а, а потому их — конечное множество. Значит, на каком-то шаге обнаружится простой делитель числа а.

Простые числа обладают многими интересными свойствами. Остановимся на двух из них.

Теорема 2. Множество простых чисел бесконечно.

Доказательство. Предположим противное, что множество простых чисел конечно. Выпишем все простые числа: р₁₉ р₂, Рз» •••» Pk• Составим теперь число а следующим образом: а = = prfiPs •... • p_k + 1. По теореме 1 у числа а есть хотя бы один простой делитель, т. е. число а делится на одно из чисел р₁₉ р₂, р₃, ..., p_k. Но Р\Р₂ ... , p_k делится на каждое из чисел р_и р₂, ... , p_k, а 1 не делится ни на одно из этих чисел, значит, по свойству 3, число а не делится ни на одно из этих чисел. Получили противоречие, следовательно, сделанное предположение неверно, т. е. на самом деле множество простых чисел бесконечно.

Исследователей всегда интересовал вопрос о распределении простых чисел среди натуральных чисел. Выпишем подряд про-

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 2009

Страница № 014.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс