Страница № 170. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович. — 10-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009. — 399 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, «170», 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Теперь сравним пять формул: две формулы, которые мы знали раньше, и те три формулы, которые вывели в примере 4:

Возникает естественная гипотеза: для любого натурального показателя п справедлива формула дифференцирования

«Естественная гипотеза» — это стилистический оборот из области интуиции. Интуиция хороша для открытия новых фактов, но не для их обоснования. Формулу (1) мы «прочувствовали», но строго не обосновали. Приведем (для интересующихся) строгое доказательство.

Мы знаем, что х' = 1. Эту формулу можно переписать так: (х¹)' = = 1 • дг¹"¹. Значит, формула (1) верна для п = 1.

Предположим, что формула (1) верна для натурального числа п = k, т. е. предположим, что верно равенство (jc*)' = Ajjc*^-1. Докажем, что тогда формула (1) верна и для следующего натурального числа п - k + 1, т. е. докажем, что (x^k+1)' = (k + l)x^k.

(x^{k + l})' = (x^k • хУ = (х^кУ • Jt + x^k • (x)^f = kx^k~^l • х + x^k - \ — (k + l)x^k.

Итак, для Ti — l формула (1) верна — мы это проверили. Далее мы доказали, что если формула (1) верна для п- Aj, то она верна и для п - k + 1. Воспользуемся этим: формула (1) верна для п = 1, значит, она верна и для следующего числа п = 2; так как она верна для п = 2, то она верна и для следующего числа п = 3 и т. д. Значит, формула (1) верна для любого натурального числа п.

Использованный здесь метод рассуждений носит в математике название метод математической индукции.

Пример 5. Найти точки, в которых касательная к графику функции у = х^г - Зх + 2 параллельна оси х.

Если касательная параллельна оси х, то ее угловой коэффициент равен нулю. Но, с другой стороны, угловой коэффициент касательной равен значению производной в абсциссе точки касания. Значит, нужно найти точки, в которых производная, т. е. 3jc² - 3, обращается в нуль. Из уравнения Зх² -3 = 0 находим: Jti = 1, х₂ = -1.

Так как у = х³ - Зле + 2, то находим соответственно: z/x = I³ - 3 1 + 2 = 0; у₂ = (-1)³ - 3 (-1) + 2 = 4.

Алгебра и начала математического анализа, 10—11 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович) 2009

Страница № 170.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс