Страница № 026. Учебник

Учебник: Геометрия. 10—11 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. — 5-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008. — 288 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, «26», 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Будем говорить, что ребро многогранника параллельно его грани, если оно лежит на прямой, параллельной плоскости этой грани.

Следующая теорема связывает понятие параллельности прямой и плоскости с понятием параллельности двух прямых и дает достаточное условие параллельности двух прямых в пространстве.

Теорема. (Признак параллельности двух прямых.) Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия их пересечения параллельна данной прямой.

Доказательство. Пусть плоскость а проходит через прямую а, параллельную плоскости [3, и прямая Ь является линией пересечения этих плоскостей (рис. 34). Докажем, что прямые а и Ъ параллельны.

Действительно, они лежат в одной плоскости ос. Кроме этого, прямая Ь лежит в плоскости (3, а прямая а не пересекается с этой плоскостью. Следовательно, прямая а и подавно не пересекается с прямой Ь. Таким образом, прямые а и Ь лежат в одной плоскости и не пересекаются. Значит, они параллельны. ■

Следующая теорема дает достаточное условие параллельности прямой и плоскости.

Теорема. (Признак параллельности прямой и плоскости.) Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости.

Доказательство. Пусть прямая а не лежит в плоскости [3 и параллельна прямой Ь, лежащей в этой плоскости (рис. 35). Докажем, что прямая а параллельна плоскости {3. Предположим противное, т. е. что прямая а пересекает плоскость (3 в некоторой точке С. Рассмотрим плоскость а, проходящую через прямые а и Ь (а ЦЬ по условию). Точка С принадлежит как плоскости а, так и плоскости (3, т. е. принадлежит линии их пересечения — прямой b. Следовательно, прямые а и & пересекаются, что противоречит условию. Таким образом, а||[3. ■

Теорема *. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Доказательство. Пусть прямые а и b параллельны прямой с (рис. 36). Случай, когда прямые а, 6, с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в курсе планиметрии. Рассмотрим случай, когда прямые не лежат в одной

Геометрия, 10—11 класс (И. М. Смирнова, В. А. Смирнов) 2008

Страница № 026.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по геометрии за 7 класс

Учебники по геометрии за 8 класс

Учебники по геометрии за 9 класс

Учебники по геометрии за 10 класс

Учебники по геометрии за 11 класс