Страница № 231. Учебник

Учебник: Геометрия. 10—11 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. — 5-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008. — 288 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, «231», 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

С точкой Торричелли связана за* дача Ферма о нахождении точки, сумма расстояний от которой до трех данных точек наименьшая.

Задача Ферма. Для данного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин треугольника принимает наименьшее значение.

Решение. Докажем, что в случае если углы треугольника меньше 120°, искомой точкой в задаче Ферма является точка Торричелли.

Повернем треугольник ABC вокруг вершины С на угол 60° (рис. 318). Получим треугольник А'В'С. Возьмем произвольную точку О в треугольнике ABC. При повороте она перейдет в какую-то точку О'. Треугольник ОО'С равносторонний, так как СО = СО' и Z.OCO' = 60°, следовательно, ОС = ОО'. Поэтому сумма длин ОА -I- ОВ + ОС будет равна длине ломаной АО + ОО' + О'ВЯсно, что наименьшее значение длина этой ломаной принимает в случае, если точки А, О, О', В' лежат на одной прямой. Если О — точка Торричелли, то это так. Действительно, ZAOC = 120°, Z.COO' = 60°. Следовательно, точки А, О, О' лежат на одной прямой. Аналогично, ZCO'O = 60°, ZCO'B' = 120°. Следовательно, точки О, О', В' лежат на одной прямой. Значит, все точки А, О, О", В' лежат на одной прямой. ■

Самостоятельно докажите, что в случае если один из углов треугольника больше или равен 120°, то решением задачи Ферма является вершина этого угла.

Пусть в треугольнике ABC (рис. 319) Н — точка пересечения высот треугольника; точки А_г, В_1У Cj обозначают основания высот;

А,, В_г, С₂ — середины соответствующих сторон; А₃, Б₃, С₃ — середины отрезков АЛ, ВН и СН. Тогда точки Aj, Б,, С,, А₂, В₂, С₂, Ад, Б₃,

С₃ лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек или окружностью Эйлера.

Действительно, А₃Б₂ — средняя линия треугольника АНС и,

Геометрия, 10—11 класс (И. М. Смирнова, В. А. Смирнов) 2008

Страница № 231.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по геометрии за 7 класс

Учебники по геометрии за 8 класс

Учебники по геометрии за 9 класс

Учебники по геометрии за 10 класс

Учебники по геометрии за 11 класс