Страница № 046. Учебник

Учебник: Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. — 5-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — 285 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, «46», 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

где каждая из цифр а₀, а,, а₂, ... может быть равна одной из десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но цифра старшего разряда а_п

не может быть нулем. Запись а_п...а_ха₀ есть условная запись правой части равенства (1).

Признаки делимости натуральных чисел можно доказать, пользуясь разложением натурального числа на разрядные слагаемые и теоремой 1. Докажем признак делимости на 9.

Теорема 2. Если сумма цифр а₀ + а_х +... + а_п числа а_п...а_ха₀ делится на 9, то и само число делится на 9.

Доказательство. Для определенности докажем этот признак делимости для п = 6, т. е. для семизначного числа:

Отметим, что приведенное ниже доказательство сохраняет силу при любом другом количестве цифр числа а.

Прежде всего заметим, что 10 = 9+1, 10² = 99 + 1, Ю³ = 999+1, ..., 10⁶ = 999999 + 1, поэтому число а можно записать так:

а = #о + (9 + 1) # 1 + (99 + 1) #₂ + (999 + 1 ) а% + (9999 + 1) а^ + + (99999 + 1) а₅ + (999999 + 1) а₆ =

Так как каждое слагаемое суммы в первых скобках делится на 9, то по теореме 1 и вся сумма делится на 9. Если сумма во вторых скобках делится на 9, то по теореме 1 и вся сумма, т. е. число а, делится на 9. А это и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение: если число а_п...а_ха₀ делится на 9, то и сумма его цифр а₀-\-а_х-\- ... + а„ делится на 9.

Так как число а и сумма в скобках делятся на 9, то на основании теоремы 1 и их разность, т. е. число (а₀-\-а₁ + а₂ + я₃ + + а₄ + а₅ + а₆), делится на 9, что и требовалось доказать.

Алгоритм Евклида. Рассмотрим способ нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел а и Ь.

Пусть даны натуральные числа а и 6, а^Ь. Если а делится на b, т. е. a = nb, то НОД (а, Ь) = Ь.

Если же а не делится нацело на 6, то разделим а на b с остатком:

Алгебра, 7 класс (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) 2005

Страница № 046.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс