Страница № 161. Учебник

Учебник: Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. — 2-е изд. — М.: Мнемозина, 2001. — 335 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, «161», 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Пример 4. Найти производные функций: а) у = х³; б )у = х⁴; в )у = х^ъ.

Решение, а) Представим х³ в виде х² ■ х и применим правило дифференцирования произведения. Получим:

б) Представим х* в виде х³ ■ х и применим правило дифференцирования произведения. Получим:

в) Представим X^й в виде х⁴ ■ хи применим правило дифференцирования произведения. Получим:

А теперь сравним пять формул: две формулы, которые мы знали раньше, и те три формулы, которые мы вывели в примере 4. Смотрите:

Возникает естественная гипотеза: для любого натурального показателя п справедлива формула дифференцирования:

Важное замечание. «Естественная гипотеза» —это стилистический оборот из области интуиции. Интуиция хороша для открытия новых фактов, но не для их обоснования. Формулу (1) мы «прочувствовали», но строго не обосновали. Приведем (для интересующихся) строгое доказательство.

Мы знаем, что х' = 1. Эту формулу можно переписать в виде (х¹)' = 1-х°. Значит, формула (1) верна для п =1.

Предположим, что формула (1) верна для натурального числа n=k, т.е. предположим, что верно равенство: (x^k)' = kx^k^. Докажем, что тогда формула (1) верна и для следующего натурального числа п = k + l, т.е. докажем, что (ж*¹)' =(fe + l)x*.

(х^ы У =(х‘ • х)' =(х^кУ х+ х* •(х)' = kx*'¹ х+ х* 1 =(k + 1)х*.

Итак, для п = 1 формула (1) верна — это мы проверили. Далее, мы доказали, что если формула (1) верна для п = k, то она верна и для п = k +1 Воспользуемся этим: формула (1) верна для п = 1, зна

Алгебра и начала анализа, 10-11 класс (Мордкович А.Г.) 2001

Страница № 161.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс