Страница № 246. Учебник

Учебник: Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. — 2-е изд. — М.: Мнемозина, 2001. — 335 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, «246», 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Второй этап. Пусть х, и i₂ — рациональные числа, причем х₁ < х_г. Составим разность 2^х2 -2^Xl и выполним некоторые ее преобразования:

Так как г — положительное рациональное число, то по доказанному на первом этапе 2^г >1, т.е. 2^r -1 >0. Число2^х‘ также положительно, значит, положительным является и произведение 2*‘(2^r -1). Тем самым мы доказали, что справедливо неравенство 2^Хг -2^х* >0.

Итак, из неравенства х₁< х₂ следует, что 2^х’ <2^Хг, а это и означает, что функция у=2* — возрастающая. •

Свойство 2. Функция у=2 ^х,х е Q ограничена снизу и не ограничена сверху.

Ограниченность функции снизу следует из неравенства 2^х >0, справедливого для любых значений х из области определения функции. В то же время какое бы положительное число М ни взять, всегда можно подобрать такой показатель х, что будет выполняться неравенство 2^х >М — что и характеризует неограниченность функции сверху. Приведем ряд примеров.

1)ПустьМ=1000. Положим х=10; имеем: 2¹⁰=Ю24, т.е.2¹⁰ >М.

2)ПустьМ=1 000000. Положим*=20; имеем 2²⁰=1 048 576, т.е. 2²⁰ >М.

3) Пусть М = Ю³⁰. Мы видели выше, что 2¹⁰ >10³, значит, (2¹⁰)¹⁰ >(Ю³)¹⁰, т.е.2¹⁰⁰ >Ю³⁰. Таким образом, если взять х=100, то для заданного числа М = Ю³⁰ будет выполняться неравенство 2^х >М.

Свойство 3. Функция у=2^х ,xeQ не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

То, что данная функция не имеет наибольшего значения, очевидно, поскольку она, как мы только что видели, не ограничена сверху. Но снизу она ограничена, почему же у нее нет наименьшего значения?

Предположим, что 2^г — наименьшее значение функции (г — некоторый рациональный показатель). Возьмем рациональное число q <г. Тогда в силу возрастания функции у=2^х будем иметь 2⁹ <2^Г. А это значит, что 2^Г не может служить наименьшим значением функции. •

Все это хорошо, скажете вы, но почему мы рассматриваем функцию i/=2* только на множестве рациональных чисел, почему мы

Алгебра и начала анализа, 10-11 класс (Мордкович А.Г.) 2001

Страница № 246.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс