Страница № 119. Учебник

Учебник: Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. — 3-е изд. — М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2006. — 287 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, «119», 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Следовательно, jc³ —6;^+1 Ijc —6 = (jc—I^jc² —5jc + 6) и поэтому частное есть многочлен jc² — 5jc + 6, а остаток равен нулю.

Если требуется найти только остаток от деления многочлена Р_п(х) на двучлен jc —а, то пользуются следующим утверждением:

Теорема Без у. Остаток R от деления многочлена (I) на двучлен х — а равен значению многочлена Р_п(х) при х = а, т. е. R = P_n(a).

Доказательство. Если в равенство (2) вместо jc подставить число а, то получится, что P_n(a) = R> что и требовалось доказать.

Используя теорему Безу, равенство (2) часто записывают в виде

Число а называют корнем многочлена Р_п(х)_у если при х = а значение многочлена Р_п(х) равно нулю: Р_п(а) = 0, т. е. если равен нулю остаток от деления многочлена Р_п(х) на двучлен jc —а.

В примере 1 Р₄(3)= 134 и число 3 не является корнем многочлена P₄(jc), а в примере 2 Р₃(1) = 0, число 1 является корнем многочлена P₃(jс) и разложение этого многочлена на множители содержит множитель jc—1.

Теорема 1. Если все коэффициенты а₀, а,, а_л_, много-члена

целые числа и целое число пг является корнем многочлена, то число m является делителем свободного члена а₀ этого многочлена.

Доказательство. Так как число m есть корень многочлена Р_п(х\ то Р_п(т) = О, т. е. справедливо равенство

Так как в равенстве (5) в скобках записано целое число и правая часть равенства (5) делится на т, то число а₀ делится на т, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Если все коэффициенты многочлена (3) — целые числа и этот многочлен имеет корень — рациональное число, то этот корень является целым числом.

Доказательство. Пусть многочлен (3) имеет корень —

рациональное число ^ (дробь ^ несократимая и q>0). Будем

считать, что числа р и q не имеют общих делителей. Покажем, что число q не может быть больше 1. Предположим противное,

Алгебра, 8 класс (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) 2006

Страница № 119.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс