Страница № 048. Учебник

Учебник: Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10—11 кл. сред, шк. / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова. — М.: Просвещение, 1990. — 320 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, «48», 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

— возрастает на промежутках (—оо; —10) и (—10; 10), [12; 15] и убывает на промежутках (10; 12] и [15; оо);

— имеет минимум в точке 12, причем f (12)= 16, и максимум в точке 15, причем / (15)= 19;

— наконец, значения f при приближении значений аргумента к —10 и 10 неограниченно возрастают по абсолютной величине.

Эти сведения позволяют понять, что эскиз графика функции примерно таков, каким он изображен на рисунке 53.

Рассмотрим еще один пример: исследуем функцию

1) Найдем область определения функции. В данном случае D (f) — вся числовая прямая, поскольку знаменатель х²-\-1 не обращается в нуль.

Поэтому достаточно исследовать функцию и построить ее график при х^0, затем остается отразить построенную часть графика относительно оси ординат.

3) Найдем точки пересечения графика f с осями координат. Ось ординат график f пересекает в точке (0; f (0)). Значение f(0) равно 1. Поэтому график f проходит через точку (0; 1).

Для того чтобы найти точки пересечения графика функции f с осью абсцисс, надо решить уравнение f (х) = 0 (его корни называют нулями функции). Уравнение 0 не имеет корней.

4) Выясним, на каких промежутках функция f принимает положительные, а на каких — отрицательные значения; их называют промежутками знакопостоянства функции. Над этими промежутками график функции лежит выше (соответственно ниже) оси абсцисс. В данном случае, поскольку при любом х значение х²-\- 1 положительно, f(x)>0 на всей числовой прямой.

5) Существенно облегчают построение графика сведения о том, на каких промежутках функция возрастает или убывает (эти промежутки называют промежутками возрастания или убывания функции). Докажем, что для рассматриваемой функции промежуток возрастания — это (—оо;0], а промежуток убывания — [0; оо).

Пусть Х\ и Х2 — два значения из промежутка [0; оо), причем X2>Xi. Поскольку Х\ И JC2 ПОЛОЖИТвЛЬНЫ, ИЗ условия Х%>Х\

следует х\>х\, *!-{-1 >х? +1 и, наконец, -ттт<-ттт* Итак,

f(x2)<Cf(xi), т. е. функция f убывает на промежутке [0; оо). На промежутке (—оо;0] функция / возрастает. Доказатель-

Алгебра и начала анализа, 10—11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990

Страница № 048.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс