Страница № 122. Учебник

Учебник: Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10—11 кл. сред, шк. / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова. — М.: Просвещение, 1990. — 320 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, «122», 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

график f на этом промежутке представляет собой непрерывную линию, о которой говорят, что ее можно «нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги». (Так, во всяком случае, обстоит дело для непрерывных функций, изучаемых в школьном курсе.)

Как было показано в п. 15, функция, дифференцируемая в точке хо, непрерывна в этой точке. Все дробно-рациональные и основные тригонометрические функции дифференцируемы во всех точках своих областей определения. Следовательно, эти функции и непрерывны в каждой из этих точек.

Например, из дифференцируемости функции f(x) = x² на всей

прямой, а функции f(x) = ~ на промежутках (—оо;0) и (0; оо)

вытекает непрерывность этих функций на соответствующих промежутках.

Отметим следующее свойство непрерывных функций:

Если на интервале (а; Ь) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак. Это утверждение имеет наглядную интерпретацию. Допустим, что найдутся такие точки х\ и х₂ интервала (а; Ь), что f (хi)<0, a

Тогда непрерывная кривая (график функции f), соединяющая точки A (x\\f(x\)) и В (х₂; f (х₂)), разделенные прямой у = 0, пересекает эту прямую в некоторой точке хз данного интервала (рис. 89), т. е. f (хз) = 0. (Представим себе, что точки А и В находятся на разных берегах реки, изображаемой интервалом (а; b). Ясно, что туристу, для того чтобы попасть из А в В, надо где-то перейти реку.) Это противоречит условию: функция f не обращается на интервале (а; Ь) в нуль.

2. Метод интервалов. На свойстве непрерывных функций, рассмотренном в этом пункте (его полное доказательство приводится в курсах математического анализа), основан метод решения нера-

венств с одной переменной (метод интервалов). Опишем его.

Пусть функция f непрерывна на интервале I и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала. По сформулированному выше свойству непрерывных функций этими точками I разбивается на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция f сохраняет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции / в какой-либо одной точке из каждого такого интервала.

Алгебра и начала анализа, 10—11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990

Страница № 122.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс