Страница № 016. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2009. — 430 с.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, «16», 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

1.29* Докажите, что отрезки л/2 — —; л/2 + — \ (тг е N, п ^ +оо)

женные. Имеют ли они общую точку? Если да, то какому числу она соответствует — рациональному или иррациональному?

Доказательство справедливости утверждений, зависящих от натурального числа п, обычно проводят с помощью принципа математической индукции:

»вм»вк*««явя*я«е*«*»авп*«мя*,»»»«вя8&.г!*игаа«ав**!Шйщсвясак*«г;зс;г

Если свойство, зависящее от натурального числа п, во-пер-вых, верно при п = 1 и, во-вторых, из предположения, что оно верно для n = k, следует, что оно верно при п = k + 1, то считают, что это свойство верно для любого натурального числа п.

Доказательство, основанное на принципе математической индукции, называют доказательством по индукции или доказательством методом математической индукции.

ПРИМЕР 1. Пусть надо доказать, что если a > 0, то для любого натурального числа п

Согласно принципу математической индукции, для того чтобы считать верным неравенство (1) для всех натуральных п, достаточно проверить выполнение двух утверждений:

2) если предположить, что для некоторого п = k неравенство (1) справедливо, т. е. что имеет место неравенство а^к > 0, то оно справедливо и для п - k + 1, т. е. имеет место неравенство а^{к + 1} > 0.

Утверждение 1 выполняется, потому что, положив в неравенстве (1) /1=1, получим неравенство а > 0, верное по условию.

Утверждение 2 тоже выполняется, ведь если предположить верным неравенство а^к > 0, то после умножения его на положительное число а получим по свойству Ш₉ (п. 1.2) верное неравенство а^{к + 1} > 0.

Таким образом, утверждения 1 и 2 выполняются. Но тогда согласно принципу математической индукции неравенство (1) верно для любого натурального числа п.

ПРИМЕР 2. Докажем, что для любого натурального числа п сумма п первых нечетных натуральных чисел равна п²:

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) 2009

Страница № 016.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс