Страница № 042. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2009. — 430 с.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, «42», 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Так как (3, 5) = 1, то это уравнение имеет бесконечно много решений. Одно из них очевидно: х₀ = 1, у₀ = 2. Поэтому все решения этого уравнения задаются формулами х = 1 + 5п, у = 2 - Зп, п е Z.

ПРИМЕР 1. Задача JI. Эйлера. Некий чиновник купил лошадей и быков за 1770 талеров. За каждую лошадь он уплатил по 31 талеру, а за каждого быка — по 21 талеру. Сколько лошадей и быков купил чиновник?

Пусть чиновник купил х лошадей и у быков. Тогда

По смыслу задачи х и у натуральные числа. Так как 21 и 1770 делятся на 3, а 31 не делится на 3, то по теореме 1 и лемме (п. 1.8) х делится на 3. Обозначив х = 3x_v где х_х — натуральное число, перепишем уравнение (5)в виде

Очевидно, что х_х будет натуральным числом, если Чу - 1 делится на 31. Наименьшее натуральное у, при котором это произойдет, равно 9. При этом х_г = 17, х = 51.

Итак, найдено частное решение уравнения (5): д:₀ = 51, у₀ = 9. Другие решения найдет, выписав общее решение уравнения (5):

Так как у = 9 — наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию задачи, то следующие натуральные значения у получим, беря п = -1, -2, -3, ... .

При n = -1 получим х = 30, у — 40; при п = -2 получим: х = 9, у = 71; при п < -3 получим отрицательные значения х, которые не удовлетворяют условиям задачи.

Таким образом, уравнение (5) имеет только 3 решения в натуральных числах: (51; 9), (30; 40), (9; 71).

Ответ. Чиновник купил лошадей и быков 9 и 71, или 30 и 40, или 51 и 9 соответственно.

Рассмотрим теперь диофантовы уравнения степени п (п > 1). Прежде всего отметим два знаменитых диофантова уравнения: уравнение Пифагора

решения которых ищутся в натуральных числах.

Если считать, что хиу — длины катетов, a z — длина гипотенузы прямоугольного треугольника, то каждое решение уравнения (6)

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) 2009

Страница № 042.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс