Страница № 018. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2009. — 430 с.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, «18», 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

ПРИМЕР 4. Докажем, что для любого действительного числа а и любых натуральных чисел тип справедливо равенство

Зададим произвольное натуральное число т и будем, как говорят, вести индукцию по п.

При п = 1 равенство (5) верно по определению степени с натуральным показателем (см. (4)):

Тогда, применяя равенство (6), по определению степени (см. (4)) имеем

а^т • a^{k + 1} = а^т ■ а^к ■ а¹ = а^{т + к} - а¹ = а^{т + к +} \

Но тогда согласно принципу математической индукции равенство (5) верно для любого натурального п при произвольно выбранном т, т. е. равенство (5) верно для любых натуральных тип.

Замечание. Отметим, что оба шага в доказательстве методом математической индукции очень важны, ни один из них нельзя пропускать.

Покажем, к чему приведет пропуск первого шага в доказательстве методом математической индукции. Рассмотрим «доказательство» заведомо неверного утверждения:

При любом натуральном п справедливо неравенство

Сразу предположим, что неравенство (7) справедливо при п - k. Умножая его на положительное число 2, получим, что оно верно и для п = k + 1.

Отсюда еще нельзя сделать вывод, что неравенство (7) справедливо для всех натуральных п, так как пропущенный первый шаг в доказательстве по индукции показал бы, что неравенство (7) неверно.

Но и одного первого шага в доказательстве по индукции недостаточно. Даже проверка справедливости утверждения для нескольких первых натуральных значений п еще не означает, что и для всех следующих значений п оно верно.

Например, если в формулу р - п² - п + 41 вместо п подставлять числа 1, 2, 3, 4, 5, ..., то получаются простые числа:

при п = 1 р = I² - 1 + 41 = 41, при п = 2 р = 2² - 2 + 41 = 43, при п = 3 р = З² - 3 + 41 = 47, ... .

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) 2009

Страница № 018.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс