Страница № 168. Учебник

Учебник: Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 11 класса / М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 384 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, «168», 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

указывается промежуток, на котором она задана, то считается, что первообразная находится на всей области определения функции /(х).

Докажем теорему, выражающую основное свойство первообразных.

Теорема (основное свойство первообразных). 'Если Е\(х) и /^(х) — две первообразные функции f(x) на интервале (а; 6), то для всех х Е (а; Ь) выполняется равенство

О Обозначим Ф(х) = F{(x) — F2(x). Так как по определению первообразной для всех х е (а; b) выполняются равенства

то функция Ф(х) дифференцируема на интервале (а; Ь) и для всех х е (а; Ь) выполняется равенство

Докажем, что в этом случае Ф(х) = С для всех хе (а\ Ь). Для этого возьмем произвольные Х\,Х2 £(а; Ъ), гдех1<х2- По теореме Лагранжа найдется такое с £ (хи Х2), что будет выполняться равенство

Но по условию Ф'(с) = 0. Следовательно, Ф(х1) = Ф(х2), т.е. функция Ф(х) постоянна, и значит, справедливо равенство (1). •

Таким образом, все первообразные функции f(x) имеют вид F(x) + С, где F(x) — одна из первообразных. Поэтому задача о нахождении всех первообразных решается нахождением какой-нибудь одной из них, из которой любая другая первообразная получается прибавлением некоторой постоянной.

Выражение F(x) + С, где С е К — произвольная постоянная, называют общим видом первообразных функции [(х).

Пример 2. Найти все первообразные функции [(х) = х³.

Д Так как (х⁴)'= 4х³, то —одна из первообразных. Следовательно, все первообразные л

Геометрический смысл основного свойства первообразных состоит в том, что графики любых двух первообразных функции f(x) получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис. 1).

Алгебра. Начала математического анализа, 11 класс (М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев) 2008

Страница № 168.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс