Страница № 309. Учебник

Учебник: Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 11 класса / М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 384 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, «309», 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Пример 3. Доказать, что если целое число а не делится на 5, то число а⁴ — 1 делится на 5.

Д Пусть г —остаток от деления а на 5, тогда a — bk + г, где keZ, г — одно из чисел 1, 2, 3, 4, так как а не делится на 5. По свойству сравнений, если а = г (mod 5), то а⁴ = г⁴ (mod 5). Учитывая, что I⁴ = 2⁴ = З⁴ = 4⁴ = 1 (mod 5), т. е. г⁴ = 1 (mod 5) при г = 1, 2, 3, 4, получаем a⁴ = 1 (mod 5).

Это означает, что число а⁴ — 1 делится на 5. А

Данный пример является частным случаем малой теоремы Ферма, которая формулируется следующим образом.

Теорема (малая теорема Ферма). Если р — простое число и число а не делится на р, то а^р~¹ — 1 делится на р (или op-1 = 1 (mod/?)).

О Поскольку а взаимно просто с р, то остатки от деления па р чисел а,2а,За,.. .,(р— 1)а — это с точностью до перестановки числа 1,2,...,р- 1, т. е.

а ■ 2а • За •... * (р - 1)а = 1 • 2 • 3 •... • (р - 1) (modp).

Сократив обе части сравнения на (р — 1)!, получим

Замечание. Теорему Ферма часто записывают в форме, равносильной приведенной выше, a^p=a(modp). В этой записи предположение о том, что а не делится на р, становится излишним.

Докажем признак делимости на 11. Пусть натуральное число а имеет вид

а — а_па_п„\... a₂a\aQ = 10^па_п + lO^a^i + ... +10²a2 + 10ai+ao. (1)

Пример 4. Доказать, что натуральное число а, записанное в виде (1), делится на 11 тогда и только тогда, когда делится на И сумма а₀ — а\ + а₂ — ... + (-\)^па_п.

По свойству сравнений получаем Ю^па_п +... + 10²а₂ + Юа! + а₀ = а₀ - а_{ + а₂ - ... + (-l)ⁿa_n(mod 11), т.е. число а делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма его цифр, взятая с чередующимися знаками. А

Алгебра. Начала математического анализа, 11 класс (М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев) 2008

Страница № 309.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс