Страница № 019. Учебник

Учебник: Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 10 класса / М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. - 424 с.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, «19», 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Пример 10. Пусть А (тг) = {число п² + 2п + 3 делится на 7}. Выяснить, истинно ли высказывание 3n eN: А(п).

Д Пусть f(n) = n² + 2n + 3, тогда /(1) = 6, /(2) = 11, /(3) = 18, /(4) = 27, и поэтому высказывания Л(1), Л(2), Л(3), Л(4) ложны.

Легко проверить таким же образом, что ложны и высказывания Л(5), Л(6), Л(7), Л(8), Л(9), Л(10). Возникает гипотеза (т. е. предположение), что А(п) ложно для любого п, т.е. что высказывание Зпе N: А(п) ложно. Однако доказать это методом проб невозможно, это можно установить только с помощью общего рассуждения. Вот как можно провести это рассуждение.

Всякое натуральное число п можно записать в виде n — 7k-\-q, где q принимает одно из значений 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Здесь k — частное от деления числа п па 7, а # —остаток. Подставив это представление числа п в многочлен, получим

Отсюда видно, что число n² -j- 2az + 3 имеет тот же остаток от деления на 7, что и число q² 4- 2^ + 3 (так как их разность делится на 7). Значит, число я² + 2я + 3 в том и только том случае делится на 7, если на 7 делится число ^² + 2^ + 3, где <7 —остаток от деления числа п на 7. Но q может принимать лишь 7 значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вычисляя значения многочлена q² + 2q -j- 3 при этих значениях q, мы получаем числа 3, 6, 11, 18, 27, 38, 51. Ни одно из этих чисел не делится на 7. Значит, ни при каком натуральном п число дг²Н-2дг + 3 не делится на 7, т.е. при любом натуральном п высказывание А(п) ложно. Тем самым доказано, что {3rceN: A(ri)} — ложное высказывание. ▲

3. Построение отрицаний высказываний, содержащих знаки общности и существования

Пример 11. Сформулировать отрицания утверждений \/р£М—> —>А(р) и Зро е М: А(ро), указанных в примере 6.

Д 1) Отрицание первого из этих утверждений можно получить двумя способами:

Vp Е М —> А(р) = {не каждое простое число является нечетным} =

= {существует (найдется) простое число, которое является четным}.

Алгебра. Начала математического анализа, 10 класс (М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев) 2007

Страница № 019.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс