Страница № 080. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — М.: Просвещение, 2010. — 463 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, «80», 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430, 431, 432, 433, 434, 435, 436, 437, 438, 439, 440, 441, 442, 443, 444, 445, 446, 447, 448, 449, 450, 451, 452, 453, 454, 455, 456, 457, 458, 459, 460, 461, 462, 463

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Точка (а; Ъ) принадлежит обеим касательным, поэтому выполняются равенства Ъ = 2х₁(а - х_г) + х\ и Ъ = 2х₂(а - х₂) + х₂, тем самым числа х_г и х₂ являются корнями квадратного уравнения

Значит, по теореме Виета х_гх₂ = Ъ. Для того чтобы касательные были перпендикулярны, необходимо, чтобы произведение их угловых коэффициентов равнялось -1, т. е. 2х_г2х₂ = -1, откуда х_гх₂ = Таким

образом, Ъ = —— есть необходимое условие того, чтобы через точку с ко-4

ординатами (а; Ъ) проходили две перпендикулярные касательные.

Кроме того, при любом а уравнение х² - 2ах - — = 0 имеет два ре-

шения (дискриминант этого уравнения равен 4а² + 1) х_х и х₂, и нетрудно видеть, что касательные в этих точках пройдут через точку с координатами —i j и будут перпендикулярны.

Таким образом, искомым множеством точек является множество

точек с координатами (а; 6), где а — любое число, Ъ = т. е. пря-114 мая у = —. Ответ: прямая у = —.И _

if)56. Приближение функции линейной функцией. Дифференциал

Для решения многих практических задач оказывается достаточно знать лишь приближённое значение данной функции. Поэтому полезно уметь находить функцию более простого вида, нежели данная, достаточно точно приближающую данную. Одной из самых простых (и самых важных в математическом анализе) функций является линейная функция, график которой есть прямая. Многие функции в окрестности каждой точки своей области определения «похожи на линейную».

Рассмотрим некоторую функцию f в малой окрестности точки х₀ и зададим линейную функцию следующим образом: g(x) = f(x₀) + k (х - х₀). При этом приращению функции Af = f(x) - f(x₀) в точке х₀ соответствует приращение линейной функции Ag = k (х - х₀) = k Ах в этой точке.

Нам хотелось бы, чтобы приращение линейной функции Ag мало отличалось от соответствующего приращения Af (точнее, чтобы малое приращение Ag было «почти равно» малому приращению Af). Каждому значению k соответствует своя прямая. Оказывается (что неудивительно), что «теснее всего прилегает» к графику функции в окрестности точ-

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс (М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин) 2010

Страница № 080.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс