Страница № 094. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — М.: Просвещение, 2010. — 463 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, «94», 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430, 431, 432, 433, 434, 435, 436, 437, 438, 439, 440, 441, 442, 443, 444, 445, 446, 447, 448, 449, 450, 451, 452, 453, 454, 455, 456, 457, 458, 459, 460, 461, 462, 463

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Аналогично в некоторой окрестности точки х, при х < 0 функ-

ция G совпадает с функцией--, производная которой равна -х.

Таким образом, остаётся проверить, что G'(x)\_{x = 0} = |0| = 0. Вычислим эту производную по определению:

Итак, при всех вещественных х выполнено равенство G'(x) = g(x), что и доказывает требуемое. Ш

Замечания. 1) Из теоремы о дифференцировании суммы следует, что если F — первообразная функции f на множестве А> то для любого вещественного С функция F(x) + С также является первообразной функции f. Таким образом, если функция имеет одну первообразную, то она имеет бесконечно много первообразных.

2) В § 60 будет доказано, что если А является промежутком, то любые две первообразные одной и той же функции различаются на константу. Таким образом, чтобы найти все первообразные данной функции на промежутке, достаточно найти одну первообразную, а затем прибавлять к ней всевозможные постоянные.

3) В главе X будет пояснено, почему любая непрерывная на промежутке функция имеет первообразную.

4) В отличие от производной, являющейся локальным понятием (т. е. для рассмотрения производной в точке достаточно знать функцию лишь в некоторой окрестности этой точки), первообразная — понятие глобальное, т. е. можно говорить о первообразной на промежутке, но не представляет интереса изучение первообразной функции f в точке х₀ (т. е. того, что у некоторой функции в одной точке производная совпала со значением другой функции в этой точке).

5) Существуют функции, не имеющие первообразной ни на каком промежутке. Ниже (с. 112) будет приведён пример такой функции.

Свойства первообразных фактически являются иной формулировкой соответствующих свойств производных. Объединим их в теорему. ТЕОРЕМА (об элементарных свойствах первообразных)

Пусть функции f и д на множестве А имеют первообразные F и G соответственно, тогда:

1. Функция f+д имеет на множестве А первообразные, одна из которых равна F+ G.

2. Для любого к е R функция kf имеет на множестве А первообразные, одна из которых равна kF.

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс (М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин) 2010

Страница № 094.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс