Страница № 315. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — М.: Просвещение, 2010. — 463 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, «315», 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430, 431, 432, 433, 434, 435, 436, 437, 438, 439, 440, 441, 442, 443, 444, 445, 446, 447, 448, 449, 450, 451, 452, 453, 454, 455, 456, 457, 458, 459, 460, 461, 462, 463

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Естественно начать поиск корней многочлена с целыми коэффициентами с проверки наличия у него целых корней, которые следует искать среди делителей свободного члена.

Если старший коэффициент равен 1, то, как следует из утверждения, все рациональные корни должны оказаться целыми числами, так как рациональные корни такого многочлена должны иметь знаменатель, равный 1. Таким образом, все вещественные корни этого многочлена либо целые, либо иррациональные числа. Если ни один из делителей свободного члена такого многочлена корнем не является, то целых корней (а стало быть, и рациональных) у него нет.

Если старший коэффициент — целое число, не равное ±1, то, начав с поиска целых корней, мы переходим к перебору всех несократимых дробей вида где р является делителем свободного члена,

Если в конце концов выяснится, что рациональных корней многочлен не имеет, то придётся искать какие-то другие подходы к задаче.

Пример 10. Решим уравнение х⁴ - х³ + 2х² - Ъх + 3 = 0.

□ Поскольку коэффициенты уравнения — целые числа, попробуем найти какой-нибудь целый корень. (Все прочие вещественные корни, если они есть, заведомо будут иррациональными, так как старший коэффициент равен 1.)

Ищем целый корень среди делителей 3: это 1, -1, 3 и -3. Подстановка показывает, что корень среди этих чисел только один: х = 1. Делим многочлен Р(х) = х⁴ - х³ + 2х² - Ъх + 3 на двучлен (х - 1) (например, уголком или по схеме Горнера). По следствию из теоремы Безу он разделится нацело. Уравнение приобретёт вид (х - 1)(х³ + 2х - 3) = 0.

Теперь найдём корни многочлена Р_х(х) = х³ + 2х - 3. Их мы ищем среди делителей числа -3, т. е. того же набора чисел: 1, -1, 3 и -3. Вычислять значения Р_х (х) в точках -1, 3 и -3 не нужно, поскольку они не являются корнями исходного уравнения, а значит, и корнями Р_х(х). А вот Р_х(1) = 0, т. е. число 1 является корнем Р_г(х).

Повторяя операцию деления, получим Р_х (х) = (х-1) (х² + х + 3). Тогда исходное уравнение можно переписать в виде (х-1)²(х² + х + 3) = 0. Поскольку множитель х² + х + 3 не имеет вещественных корней, единственным корнем уравнения будет х = 1. Ответ: {1}. Ш

□ Уравнение не имеет целых корней (кандидаты на эту роль — делители свободного члена 1 и -1 — корнями не являются). Остаётся надежда на поиск рациональных корней среди чисел ±^, ±-, ±^.

Подстановкой убеждаемся, что х = - является корнем. Таким об-

разом, после деления (делить удобнее не на х--, а на 2х - 1) получим

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс (М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин) 2010

Страница № 315.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс