Страница № 230. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — М.: Просвещение, 2010. — 463 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, «230», 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430, 431, 432, 433, 434, 435, 436, 437, 438, 439, 440, 441, 442, 443, 444, 445, 446, 447, 448, 449, 450, 451, 452, 453, 454, 455, 456, 457, 458, 459, 460, 461, 462, 463

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

ШШЩ 1. Любой многочлен степени 0 имеет ровно п корней, если каждый корень считается столько раз, какова его кратность. 2. Любой многочлен степени 1 имеет хотя бы один корень.

Доказательства основной теоремы алгебры мы приводить не будем, поскольку оно существенным образом опирается на понятия и утверждения, выходящие за рамки нашего курса.

□ Покажем, что утверждения 1 и 2 равносильны.

Ясно, что из утверждения 1 следует утверждение 2.

Пусть теперь истинно утверждение 2. Методом математической индукции докажем истинность утверждения 1 для 1.

база индукции. При п— 1 утверждения 1 и 2 совпадают.

индукционный переход. Пусть произвольный многочлен степени п имеет ровно п корней с учётом кратности. Докажем, что тогда произвольный многочлен степени п+1 имеет п+1 корень с учётом кратности.

Рассмотрим произвольный многочлен Р степени п + 1. Согласно утверждению 2 он имеет комплексный корень х₀, а тогда согласно теореме Безу имеет место равенство Р(х) = (х - x₀)Q(x), где Q— многочлен степени п. Но для Q выполнено индукционное предположение, т. е. Q имеет ровно п корней с учётом их кратности, а тогда Р имеет п + 1 корень: п корней многочлена Q и еще корень х₀.

В множестве вещественных чисел уравнение х² = -1 не имело решений. Введя новое число i, являющееся корнем этого уравнения, мы выяснили, что теперь любое квадратное уравнение имеет решение в множестве «новых чисел», получаемых из вещественных чисел и i с помощью операций сложения и умножения.

Однако вдруг найдётся уравнение четвёртой степени, которое не имеет решения в множестве этих «новых чисел»? Тогда пришлось бы заводить новое число у, являющееся корнем этого уравнения, получать «ещё новые числа» из предыдущих и у и исследовать полученное множество и уравнения в нём. Основная теорема алгебры избавляет нас от этого! В множестве комплексных чисел любой многочлен имеет корни. Этот факт формулируют так: множество комплексных чисел алгебраически замкнуто.

Можно сказать, что при изучении школьного курса математики мы «стремились» к алгебраической замкнутости числовых множеств. Сначала вместо натуральных чисел мы рассматривали целые, что позволило осуществлять вычитание, т. е. решать линейные уравнения со старшим коэффициентом 1. Затем рассматривались рациональные числа, что позволило решать линейные уравнения с произвольными целыми (и рациональными) коэффициентами. Появление вещественных чисел ещё больше расширило возможность решения алгебраических уравне-

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс (М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин) 2010

Страница № 230.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс