Страница № 172. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — М.: Просвещение, 2010. — 463 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, «172», 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430, 431, 432, 433, 434, 435, 436, 437, 438, 439, 440, 441, 442, 443, 444, 445, 446, 447, 448, 449, 450, 451, 452, 453, 454, 455, 456, 457, 458, 459, 460, 461, 462, 463

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

172| ГлаваХ. Определённый интеграл ■ ¹ ■ ■■■!

чим S*. Аналогично можно показать, что существует точная нижняя граница множества приближений площади по избытку, которую мы обозначим S*.

Следует отметить, что S* и S* существуют для всех ограниченных функций (не обязательно непрерывных), заданных на отрезке [а; Ь], если в определениях этих приближений заменить шах на sup, a min на inf. Значения S* и S* могут быть не равны (см. пример 1), но всегда

Если S* = S*, то это их общее значение и называется площадью криволинейной трапеции.

Ещё раз отметим, что выше мы определили, что такое площадь криволинейной трапеции. А именно, это точная верхняя граница площадей ступенчатых фигур, содержащихся в данной криволинейной трапеции, равная точной нижней границе площадей ступенчатых фигур, содержащих данную криволинейную трапецию. Если эти точные границы не равны, то соответствующая фигура площади не имеет.

Пример 1. Докажем, что криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции Дирихле D, прямыми х = 0, х = 1 и отрезком [0; 1] оси абсцисс, не имеет площади в определённом выше смысле.

Пусть отрезок [0; 1] произвольным образом разбит на отрезки. В каждом из отрезков разбиения есть иррациональное число, а потому наименьшее значение функции D на любом отрезке разбиения равно 0. Таким образом, любое приближение по недостатку будет равно 0. Значит, и точная верхняя граница множества приближений по недостатку равна 0, т. е. S* = 0.

В то же самое время на любом отрезке разбиения есть рациональное число. Поэтому наибольшее значение функции D на любом отрезке разбиения равно 1. Тогда площадь соответствующего прямоугольника численно равна длине отрезка разбиения, а значит, приближение по избытку, равное сумме площадей прямоугольников, численно равно сумме длин отрезков разбиения, т. е. длине отрезка [0; 1]. Тем самым любое приближение по избытку равно 1. Поэтому и точная нижняя граница приближений по избытку S* = 1. Таким образом, S* Ф S*. Полученное неравенство доказывает, что рассмот- < ренная криволинейная трапеция не имеет площади. Ш 'Щ

О Мы не приводим доказательства того, что криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной функции, имеет площадь, но в дальнейшем будем часто пользоваться этим фактом.

Далее вместо слов «площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции /, прямыми х = а, х — Ъ и отрезком [а; Ь] оси абсцисс» будем писать «площадь под графиком функции f на отрезке [а; Ь]».

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс (М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин) 2010

Страница № 172.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс