Страница № 013. Учебник

Учебник: Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М.: Мнемозина, 2007. — 287 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, «13», 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Квадратные трехчлены х² + х + 1, х² - х + 1 имеют отрицательные дискриминанты, а потому, как известно, из курса алгебры 8-го класса, не разлагаются на линейные множители с действительными коэффициентами.

Пр и мер 6. Разложить на множители многочлен 16л;⁷ -

Решение. 16л;⁷ - 72л;⁶ + 108л;⁵ - 54л;⁴ = 2л:⁴(8л;³ - 36л;² + + 54л; - 27) = 2л;⁴((2л;)³ - 3 • (2л;)² • 3 + 3 • (2л;) • З² - З³) = = 2л;⁴(2л: - З)³.

В процессе решения мы использовали прием вынесения общего множителя за скобки и формулу «куб разности». ■

4. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.

Если х₁ и х₂ — корни квадратного трехчлена ах² + Ьх + с, то ах² + Ьх + с = а(х - xj(x - х₂). (5)

Например, корнями квадратного трехчлена 2л;² - 5л; - 7 являются числа -1 и 3,5, значит, 2л:² - 5х - 7 = 2(х + 1)(л; - 3,5) = = (х + 1)(2х - 7).

Если, в частности, квадратный трехчлен имеет один корень (дискриминант квадратного трехчлена равен нулю), то для использования формулы (5) полагают х₁ = х₂ (кратный корень), и формула (5) принимает вид ах² + Ьх + с = а(х - л^)².

Если квадратный трехчлен не имеет действительных корней (дискриминант отрицателен), то квадратный трехчлен не разлагается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Выше, в следствии из теоремы 3, был получен следующий результат: если число а является корнем многочлена р(х), то р(х) делится на двучлен х - а, т. е. может быть представлен в виде р(х) = (х - a)q(x). Это еще один прием разложения на множители многочлена от одной переменной. Отметим одну любопытную теорему, которая не раз позволит нам пользоваться указанным приемом разложения многочлена на множители.

Теорема 4. Пусть все коэффициенты многочлена р(х) — целые числа. Если целое число а является корнем многочлена р(х), то а — делитель свободного члена многочлена р(х).

Доказательство, простоты ради, проведем для случая, когда р(х) — многочлен третьей степени: р(х) = Ьх³ + сх² + dx + т, где все коэффициенты Ь, с, d₉ т — целые числа. По условию,

Алгебра и начала анализа, 11 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 2007

Страница № 013.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс