Страница № 134. Учебник

Учебник: Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М.: Мнемозина, 2007. — 287 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, «134», 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Вернитесь в § 11, взгляните на имеющийся там перечень свойств показательной функции у = а^х при а > 1 (например, у = 2^х). Вы обнаружите те же свойства 1—8 (что вполне естественно), а девятое свойство, связанное с дифференцируемостью функции, мы тогда не упомянули. Обсудим его теперь.

Выведем формулу для отыскания производной функции у = е*. При этом мы не будем пользоваться обычным алгоритмом, который не раз с успехом применяли в курсе алгебры и начал анализа 10-го класса. В этом алгоритме на заключительном этапе надо вычислить предел, а знация по теории пределов у нас с вами весьма и весьма ограниченные. Поэтому будем опираться на геометрические предпосылки, считая, в частности, сам факт существования касательной к графику показательной функции не подлежащим сомнению (поэтому мы так уверенно записали в приведенном выше перечне свойств девятое свойство — диф-ференцируемость функции у = е^х, хотя, конечно, строго доказать это нам не по силам, это делается в курсе высшей математики).

1. Отметим, что для функции у = /(*), где f(x) = е^х, значение производной в точке х = 0 нам уже известно:

2. Введем в рассмотрение функцию у = g(x), где g(x) = f(x - а), т. е. g(x) = е^х~^а. На рис. 81 изображен график функции у = g(x): он получен из графика функции у = f(x) сдвигом по оси х на \а\ единиц масштаба. Касательная к графику функции у = g(x) в точке х = а параллельна касательной к графику функции у = f(x) в точке х = 0 (см. рис. 81), значит, она образует с осью х угол 45°. Используя геометрический смысл производной, можем записать, что g'(a) = tg 45° = 1.

Значит, f\x) = е* • g\x), в частности, f'(a) = е? • g'(a). Но g'(a) = 1, значит, f\a) = е^а.

4. Мы установили, что для любого значения а справедливо соотношение f(a) = е°. Вместо буквы а можно, естественно, использовать и букву х; тогда получим, что f(x) = 2^х, т. е.

Алгебра и начала анализа, 11 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 2007

Страница № 134.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс