Страница № 052. Учебник

Учебник: Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2010. — 224 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, «52», 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

обращается в нуль. Таким образом, задача сводится к решению

из которой получаем: 2х - 8 = 0, т. е. х = 4; у + 3 = 0, т. е. у = -3.

Пример 3. Найти все целочисленные решения уравнения х - у = 10.

Решение. Если х = k, k е Z, то уравнение х - у - 10 принимает вид k - у = 10, откуда получаем: у - k - 10; это целое число. Значит, целочисленными решениями уравнения служат любые пары вида (k; k - 10), где k е Z. Ш

Если дано целое рациональное уравнение с несколькими переменными и с целочисленными коэффициентами и если поставлена задача найти целочисленные (или, в более общем случае, рациональные) его решения, то говорят, что задано диофантово уравнение (в честь древнегреческого математика Диофанта; предположительно III в.). Диофантово уравнение называют также неопределенным уравнением. Неопределенность заключается, видимо, в том, что такое уравнение, как правило, имеет бесконечное множество решений, как это было выше в примере 3.

В большинстве случаев решение диофантовых уравнений сопряжено со значительными трудностями. Иногда они преодолеваются с помощью свойств делимости целых чисел.

Пример 4. Найти целочисленные решения уравнения 2х + Зу = 17.

Решение. Пусть (х; у) — решение уравнения. Тогда 17-3у = 2х. Так как х — целое число, то число 17 - Зу четно. Рассмотрим отдельно случай, когда у четно, и случай, когда у нечетно.

1) Если у — четное число, то Зу четно, а 17 - Зу нечетно как разность нечетного числа 17 и четного числа Зу. Значит, этот случай нам не подходит.

2) Если у — нечетное число, то у = 2k + 1, где k — целое число. Тогда 17 - Зу = 17 - 3(2fc + 1) = 17 - 6* - 3 = 14 - 6* = 2(7 - Зй).

Так как по условию 17-3у - 2х, то получаем 2(7 - 3k) = 2х, х = 7 - 3k.

Итак, если (х; у) — решение данного уравнения, то х = 7 - 3k, а у = 2k + 1, где k — целое число.

(2х - 8)² = 0, (у + 3 у = о,

Алгебра, 9 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 2010