Страница № 243. Учебник

Учебник: Алгебра. 9 класс. С углубленным изучением математики. Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. и др. 7-е изд. - М.: Просвещение, 2006. - 368 с.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, «243», 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

p(ft₊l)-p_w-(^(fc+1»*+^2>)^(*^(fe2⁺¹⁾)²-^(^f«.>i + 2)‘-k'>) = (^k42^l)‘(k + 2-k)(k + 2 + k)-fk+\)\

Поскольку мы предполагали, что S(k) = P(k), то отсюда следует равенство S(k + l) = P(fe + 1). Следовательно, по принципу математической индукции формула (3) справедлива для всех п.

Метод математической индукции успешно применяется и при доказательстве различных неравенств, при этом используются свойства неравенств. В качестве примера рассмотрим доказательство неравенства, которое мы в дальнейшем будем неоднократно использовать. Это неравенство, называемое неравенством Бернулли, имеет следующий вид:

при всех натуральных значениях п и для всех х > -1.

При п = 1 это неравенство справедливо, так как 1 + х=1 + х.

Предположим, что оно справедливо при n = k> 1, т. е. справедливо неравенство

Умножим обе части этого неравенства на 1+х, при этом неравенство не изменит знак, так как 1+х>0 в силу условия х>-1. Тогда мы получим:

Учитывая, что одночлен kx² — неотрицательное число, из последнего неравенства имеем

Таким образом, мы показали, что неравенство (4) верно для п = 1, и в предположении, что оно верно для n = k₉ доказали его справедливость для n = k+l. Значит, по принципу математической индукции неравенство Бернулли¹* справедливо для всех натуральных значений п.

Замечание. Бывают случаи, когда утверждение, неверное для /г = 1, 2, ... , р-1, справедливо для п=р. Если затем из предположения о его истинности для п — к>р можно доказать, что оно истинно и для n = k + 1, то получаем, что данное выражение истинно для всех п>р.

Докажем, что выражение 7^п + 8^2л_3 кратно 19 для всех натуральных чисел п>3.

Якоб Бернулли (1654—1705) — швейцарский математик. Неравенство Бернулли доказано им в 1689 г. методом математической индукции.

Алгебра, 9 класс (Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. и др.) 2006

Страница № 243.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс