Страница № 033. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — М.: Просвещение, 2009. — 415 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, «33», 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Рассмотрим примеры использования метода математической индукции при доказательстве неравенств.

Пример 33. (Неравенство Бернулли.) Докажем, что (1 + х)^п ^ 1 + пх при любом натуральном п и х > -1.

□ база индукции. При п= 1 неравенство превращается в (1 + х)¹ ^ 1 + х, что, очевидно, верно.

индукционный переход. Пусть верно утверждение с номером п, т. е. (1 + х)^п> 1 + пх при х > —1. Докажем утверждение с номером п+1.

Имеем (1 + х)^п > 1 + пх. Домножим обе части неравенства на 1 + х (по условию 1 + х > 0). Получим (1 + х)^{п + 1} ^ (1 + пх)( 1 + х). Раскроем скобки в правой части: (1 + пх)( 1 + х) = 1 + (п + 1)х + пх². Заметим, что 1 + (п + 1)х + пх² ^ 1 + (п + 1)х в силу того, что х² ^ 0. Таким образом, (1 + х)^{п + 1} 1 + (п + 1)х. Индукционный переход доказан. В

Бернулли — династия швейцарских ученых и государственных деятелей, давшая миру более двух десятков первоклассных ученых. Наиболее известны Якоб I Бернулли (1654—1705), один из основателей математического анализа, а также теории вероятностей; Иоганн I (1667—1748), брат Якоба I, он указал многие методы интегрирования, способы подсчета длин кривых, раскрытия неопределенностей; Даниил (1700—1782), кроме математики, прославлен исследованиями в физиологии и медицине, по приглашению Петра I работал в Петербургской академии наук, ему принадлежат исследования по астрономии, анализу, теории чисел и теории вероятностей, тригонометрическим рядам, динамике жидкости и газа и т. д.

При доказательстве неравенств с помощью метода математической индукции часто удобно пользоваться следующими утверждениями.

Утверждение 1 ............................................■■■——■—..■«......■■■■■.i..................

ШЩ Пусть имеются две последовательности положительных чисел.

Если для некоторого натурального числа т справедливо неравенство а_т> Ь_т и для всех к ^ т справедливо неравенство ^ак+1 ^{_ а}к ^ Ь_к+1 - Ь_к, то при всех п ^ т справедливо неравенство

□ доказательство. Докажем утверждение по индукции. база индукции. Неравенство а_т ^ Ъ_т верно.

индукционный переход. Пусть a_k ^ b_k. Известно, что a_{k + 1}- a_k^ Zb_{k + l} - b_k. Сложим эти два неравенства. Получим a_{k + 1} ^ b_{k + 1}, что и требовалось доказать. В

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс (М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин) 2009

Страница № 033.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс