Страница № 069. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — М.: Просвещение, 2009. — 415 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, «69», 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Если 1 < х < 3, то х - 1 > О, х + 2 > О, х - 3 < 0 и произведение будет отрицательно. Если -2 < х < 1, то х - 1 < О, х + 2 > О, х - 3 < 0 и произведение положительно; наконец, если х < —2, то все сомножители и, следовательно, произведение отрицательны. Заметим также, что сами корни в данном случае неравенству удовлетворяют, так как неравенство нестрогое. Получаем ответ: х е [-2; 1] U [3; +оо) (рис. 1.14).

Можно было рассуждать и по-другому. Заметив, что во всех точках между соседними корнями функция принимает значения одного знака, на каждом промежутке можно было взять одну (любую) точку, чтобы определить знак во всех точках этого промежутка.

Например, взяв х = 4 на промежутке (3; +оо), заметим, что (4 - 1)(4 - 3)(4 + 2) > О и, значит, (х - 1)(х - 3)(х + 2) положительно при всех х > 3. Аналогично для промежутка (1; 3) можно взять х = 2, чтобы определить, что выражение (х - 1)(х - 3)(х + 2) отрицательно при 1 < х < 3 и т. д.

Наконец, возможно следующее рассуждение: можно заметить (в данном случае), что при переходе через корни ровно один сомножитель меняет знак и, значит, все выражение меняет знак. Таким образом, если при х > 3 выражение положительно и при переходе через корень х = 3 (т. е. при движении по оси справа налево после точки х = 3) выражение знак поменяло, то при 1 < х < 3 выражение отрицательно, далее при переходе через корень х = 1 выражение еще раз меняет знак и, следовательно, положительно при -2 < х < 1. Наконец, выражение меняет знак при переходе через х = -2 и, следовательно, отрицательно при х < — 2.

На картинке удобно отмечать положительные участки «верхней волной», отрицательные участки «нижней волной» (рис. 1.14), а корни уравнения рассматривать отдельно, выделяя их «жирной точкой», если они включаются в ответ и «незаштрихованной» точкой, если они не включаются в ответ. 11

Пример 82. Решим неравенство (х - 1)³(х + 2)²(х + 3)^п(2 - х)> 0.

□ Отметим на числовой прямой корни уравнения

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс (М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин) 2009

Страница № 069.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс