Страница № 114. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — М.: Просвещение, 2009. — 415 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, «114», 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ...................................................—-------————....■—.............................

Наименьшим общим кратным двух ненулевых целых чисел называется наименьшее натуральное число, делящееся на эти числа.

Обозначение: [а; Ь] — наименьшее общее кратное чисел а и Ъ (зачастую произносят «НОК а и &»).

Очевидно (как следствие свойства минимальности множества натуральных чисел), что у любых двух натуральных чисел существует (и притом единственное) наименьшее общее кратное.

В отличие от наибольшего общего делителя наименьшее общее кратное не занимает в нашем изложении существенного места. Ограничимся лишь следующим примером доказательства свойства наименьшего общего кратного.

Пример 12. Докажем, что любое общее кратное ненулевых целых чисел а и Ъ делится на их наименьшее общее кратное.

□ Пусть S ! a, S \ Ь. Предположим, что S/[а; Ь]. Тогда разделим S на [а; Ъ] с остатком. Имеем S = [а; Ь] • q + г, где 0 < г < [а; Ь].

Так как S ■ а и [а; Ь\ \ а, то и г ! а. Аналогично rife. Итак, получили, что г — натуральное число, являющееся общим кратным чисел а и Ь, причем меньшее, чем [а; Ь]. Но [а; Ь] — наименьшее среди всех натуральных общих кратных чисел а и Ъ. Полученное противоречие доказывает утверждение примера. (Где ранее использовалось аналогичное рассуждение?) Ш

Утверждение примера 12 позволяет сформулировать определение наименьшего общего кратного двух чисел как такого общего кратного, на которое делятся все общие кратные этих чисел. Решение примера 12 является частью доказательства равносильности этих определений (проведите это доказательство целиком!).

Определение наименьшего общего кратного п чисел можно дать следующими способами:

1. Наименьшим общим кратным нескольких ненулевых целых чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.

Замечание. Поскольку, например, модуль произведения ненулевых целых чисел делится на каждое из них, то множество общих кратных нескольких ненулевых целых чисел есть подмножество натуральных чисел и непусто, значит, среди них можно выбрать наименьшее. Таким образом, доказана корректность введенного определения.

2. Можно дать определение наименьшего общего кратного п целых не равных нулю чисел как такого общего кратного этих чисел, на которое делятся все их общие кратные.

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс (М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин) 2009

Страница № 114.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс