Страница № 052. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — М.: Просвещение, 2009. — 415 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, «52», 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Для множества вещественных чисел принимается верной аксиома полноты, выражающая тот факт, что изображения вещественных чисел на оси заполняют ось целиком, не оставляя «дырок». Она имеет несколько равносильных формулировок, каждая из которых может быть принята за аксиому, а тогда остальные будут уже теоремами. В нашем изложении полноту прямой будет задавать следующая аксиома.

Любое непустое ограниченное сверху множество вещественных чисел имеет супремум. Иначе говоря, множество верхних границ любого ограниченного сверху множества имеет наименьший элемент!

Это и есть та недостающая аксиома, которая отличает вещественные числа от рациональных. А именно, множество вещественных чисел есть множество супремумов всевозможных ограниченных сверху подмножеств рациональных чисел. __

Утверждение ——...............................„■■■ ■.................................

"L Любое ограниченное снизу числовое множество имеет инфимум.

□ доказательство. Пусть В — числовое множество, ограниченное снизу. Пусть т — одна из нижних границ множества Б. Тогда Ух g ^ v "> т Умножая неравенство на (-1), получаем Ух е В -х т. Иначе говоря, число —т является верхней границей множества А — {—х: х е В}. Обратно: если М — верхняя граница множества А, то У у е А у ^ М, что после умножения на (-1) дает У у е А —у^—М. Однако —у е Б, причем если у принимает все значения из А, то —у принимает все значения из Б. Итак, Ух е В х ^ —М (рис. 1.12).

Таким образом, каждая нижняя граница множества Б является числом, противоположным соответствующей верхней границе множества А, и наоборот. Но в множестве верхних границ множества А есть наименьший элемент. Тогда ему противоположный будет наибольшим в множестве нижних границ множества Б, т. е. inf Б. IS

П Пусть А и В — два непустых числовых множества, причем Vx е А У у е В х^у. Тогда sup А ^ inf В (рис. 1.13).

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс (М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин) 2009

Страница № 052.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс