Страница № 113. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — М.: Просвещение, 2009. — 415 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, «113», 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

большему общему делителю. Соответствующий пример можно получить, просто умножив линейное представление наибольшего общего делителя на произвольное целое ненулевое число.

Из теоремы о линейном представлении следует, что наибольший общий делитель двух чисел кратен любому общему делителю этих чисел. С другой стороны, если натуральный общий делитель таков, что он кратен любому общему делителю, то он, естественно, не меньше любого из общих делителей. Поэтому наибольшим общим делителем двух целых чисел, хотя бы одно из которых не равно 0, можно назвать натуральный общий делитель этих чисел, делящийся на любой их общий делитель. Можно также сказать, что наибольший общий делитель — это наименьшее натуральное число, делящееся на любой общий делитель данных чисел.

В случае, когда оба числа равны 0, в множестве натуральных общих делителей нет наибольшего элемента, ибо оно состоит из всех натуральных чисел. В то же время есть число, которое делится на все общие делители двух нулей. Это число 0. Правда, 0 не может быть ничьим делителем, поэтому применять к нему термин «наибольший общий делитель» кажется несколько странным. Тем не менее из соображений, о которых сказано выше, а также из других соображений, в некоторых книгах по определению полагают наибольший общий делитель двух нулей равным 0.

Отметим также, что определение наибольшего общего делителя, а также все его свойства могут быть распространены на большее количество чисел, нежели два. При этом определение наибольшего общего делителя п чисел может быть дано тремя способами:

1. Наибольшим общим делителем п целых чисел, хотя бы одно из которых не равно 0, называется наибольший общий натуральный делитель этих чисел.

2. Наибольшим общим делителем п целых чисел, хотя бы одно из которых не равно 0, называется их общий натуральный делитель, делящийся на все общие делители данных чисел (при использовании этого определения нужно будет доказывать существование такого делителя).

3. Определение по индукции. Наибольший общий делитель двух чисел определен выше. Далее, (а_г; а₂; а_п) = ((а_г; а₂; а_п_ _х); а_п).

При этом необходимо доказательство корректности данного определения (т. е. что наибольший общий делитель п чисел не зависит от того, какое число «уединить»).

Для доказательства корректности проще всего из определения 3 получить теорему о линейном представлении наибольшего общего делителя п чисел через эти числа. Из этой теоремы вывести (аналогично случаю двух чисел) то, что наибольший общий делитель кратен любому общему делителю, откуда получить, что он не меньше любого общего делителя. Из последнего заключения выводится корректность определения 3!

Однако в дальнейшем изложении и в задачах понятие наибольшего общего делителя более чем двух чисел встречаться практически не будет. _

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс (М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин) 2009

Страница № 113.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс