Страница № 035. Учебник

Учебник: Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. — 6-е изд. — М.: Просвещение, 1998. — 288 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, «35», 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

существуют в силу предположения о непрерывности функции f на [а, Ь\ см. п. 2§ 3 главы V). Тогда площадь фигуры PTQN заключена между площадями прямоугольников с общим основанием [дс, jc+A] и высотами т и М соответственно. Так как эти площади равны соответственно mh и Mh, то имеем неравенства:

При Л, стремящемся к нулю, в силу непрерывности функции ( в точке х наибольшее значение М этой функции на отрезке [*, дс+Л] и ее наименьшее значение т на том же отрезке стремятся к общему пределу / (дс):

Но тогда и заключенное между ними значение ^,s(^x+^/j)~^,s(^x)

Случай, когда А<0, разбирается аналогично. Следовательно, S' (x)=f (дс). Теорема доказана.

Из теоремы 1 непосредственно следует важное утверждение:

Теорема 2. Любая функция f, непрерывная на отрезке [а, b] и имеющая на нем конечное число экстремумов, имеет на этом отрезке первообразную.

Доказательство. Если функция f положительна на отрезке [а, Ь\ то утверждение теоремы 2 вытекает непосредственно из теоремы 1: одной из искомых первообразных является площадь 5 (х) криволинейной трапеции для функции f с переменным верхним пределом.

Общий случай легко сводится к разобранному. Так как функция f непрерывна на отрезке [а, Ь\ она ограничена снизу на этом отрезке, и потому существует такое число А, что вспомогательная функция ф, где ф (дс)=/ (дс) -(- А, положительна на [а, Ь\ По доказанному выше она имеет первообразную Ф. Но тогда функция F, где F (дс)=ф (х)—Ах, будет первообразной для f. В самом деле, Ф' (де)=ф (дс)=/ (х)-\-А, и потому F’ (дс)=(Ф (дс)—Ах)'=Ф' (дс)— ~A=f(x)+A-A=f(x).

Среди всех первообразных для функции f указанная в теореме 1 первообразная (площадь криволинейной трапеции с переменным верхним пределом) выделяется следующим условием: она равна нулю при дс=а, S(a)=0. Отсюда вытекает, что площадь всей криволинейной трапеции ABCD на рисунке 17 равна значению при х=Ь той первообразной функции /, которая обращается в нуль при х=а.

Алгебра и математический анализ для 11 класса (Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд) 1998

Страница № 035.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс