Страница № 118. Учебник

Учебник: Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. — 6-е изд. — М.: Просвещение, 1998. — 288 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, «118», 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Вычислительная ценность этих формул различна — в одних случаях достаточно выполнения действия деления, в других требуется еще извлечение корней, а в третьих — отыскание значений логарифма или обратной тригонометрической функции. Результаты всех этих операций лишь приближенно могут быть записаны в виде десятичных дробей. При этом класс уравнений, для которых можно найти формулу решения, весьма узок. Уже для алгебраических уравнений пятой степени нет общей формулы, выражающей корни этого уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических действий и операции извлечения корня. Нет формул и для решения таких уравнений, как 2*=jc+3,

х= 1 + ^S'Y5~ ^{и т}- Д-» ^хотя подобные им уравнения часто встречаются при решении практических задач.

Однако для решения практических задач не столь важно обладание формулой решения, сколь умение найти корни уравнения с заранее заданной точностью. Иными словами, надо уметь решать такую задачу:

Дано уравнение f (х)=0, имеющее корни х\, х₂, ... х_п, и число е>0. Найти числа t\, /₂, ..., t_n, отличающиеся от корней этого уравнения меньше чем на е, т. е. такие, что I 4—jc*|<e, 1 ^

Решение указанной задачи является одним из вопросов вычислительной математики. В этом параграфе мы изложим наиболее важный метод приближенного решения уравнений — метод последовательных приближений.

2. Метод последовательных приближений. Уравнение f (х)=0 можно различными способами записать в виде jc = ф (jc), где <р — некоторая функция. Например, уравнение jc²—2=0 можно записать в следующих видах:

и т. д. Для уравнений, записанных в виде jc=ф (jc), применяют следующий метод приближенного решения, называемый методом последовательных приближений. Выбирают некоторое начальное приближение jci и подставляют его вместо jc в <р (х). Полученное значение jc2=<p(jci) этой функции считают вторым приближением. Далее цаходят третье приближение по формуле д:з = ф (х₂) и т. д. При определенных условиях, которые будут указаны ниже, получающаяся таким образом последовательность чисел jci, JC2,..., jc„, ... имеет предел а. Тогда, если функция <р непрерывна, из равенства jc„+i =<р (jc_n) вытекает, что lim jc„+i = lim ф (jc„)=9 (limjc„),

т. e. а=ф(а). Это означает, что а является решением уравнения jc=ф (jc). При достаточно больших значениях п разность |jc„—а| становится сколь угодно малой, т. е. х„ является достаточно хорошим приближением для искомого корня.

Алгебра и математический анализ для 11 класса (Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд) 1998

Страница № 118.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс