Алгебра, 7 класс. Часть 1. Учебник (А. Г. Мордкович) 2009

Страница № 115.

Учебник: Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 13-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2009. — 160 с.: ил.

Страницы учебника:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, «115», 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

85² = (80 + 5)² = 80² + 2 • 80 • 5 + 5² =

=80 (80 + 10) + 25 = 80 • 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Замечаем, что для вычисления 85² достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 35² = 1225 (3 • 4 = 12 и к полученному числу приписали справа 25); 65² = 4225; 125² = 15 625 (12 • 13 = 156 и к полученному числу приписали справа 25).

Приведем доказательство отмеченного факта.

Пусть число а оканчивается цифрой 5, это значит, что а = 10Ъ + 5, где Ъ — число, полученное из числа а отбрасыванием последней цифры 5 (например, 125 = 10-12 + 5; здесь Ь = 12). Тогда

а² = (106 + 5)² = 1006 ²+1006 + 25 = 1006 (Ъ + 1) + 25.

Получили, что число Ъ надо умножить на 6 + 1, умножить полученное произведение на 100 и затем прибавить 25. Это равносильно тому, что к числу Ъф + 1) справа приписать 25. Например, для вычисления 125² умножим 12 на 13, получим 156; справа припишем 25, получим 15 625.

Раз уж мы с вами заговорили о различных любопытных обстоятельствах, связанных со скучными (на первый взгляд) формулами (1) и (2), то дополним этот разговор следующим геометрическим рассуждением. Пусть а и Ъ — положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и Ъ (рис. 53).

Площадь квадрата со стороной а + Ъ равна (а + Ъ)². Этот квадрат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а²), квадрат со стороной Ъ (его площадь равна &²), два прямоугольника со сторонами а и Ъ (площадь каждого такого прямоугольника равна ab). Значит, (а + Ъ)² = а² + Ъ² +- 2ab_y т. е. получили формулу (1).

2. Разность квадратов Умножим двучлен а + Ъ на двучлен а - Ь:

(а + Ь)(а-Ь) = а²-аЬ + Ьа-Ь^г = а²- Ъ².

(а + Ъ) (а - Ъ) = а² - Ъ².

(3)

Страницы учебника:

Все учебники по алгебре:

Алгебра, 7 класс. Часть 1. Учебник (А. Г. Мордкович) 2009

Страница № 115.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс