Страница № 165. Учебник

Учебник: Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев. — 4-е изд., перераб. — М.: Мнемозина, 2008. — 240 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, «165», 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Отметим еще одно свойство, связанное с делимостью натуральных чисел.

Свойство 9. Среди п последовательных натуральных чисел одно и только одно делится на п.

Если мы возьмем любые три подряд идущих натуральных числа, например, 8, 9, 10 или 106, 107, 108, то одно число из тройки делится на 3 (для первой тройки это число 9, для второй — число 108). Если мы возьмем любые 10 подряд идущих натуральных чисел, то одно обязательно делится на 10. Если же мы возьмем два подряд идущих четных числа, то одно обязательно делится на 4.

Пример 1. Доказать, что для любого натурального числа п число п^ъ - 5п³ + 4п делится на 2, 3, 4, 5, 8.

Решение. Разложим многочлен п^ь - 5п³ + 4п на множители:

Рассмотрим полученное произведение. При п = 1, п = 2 оно обращается в 0, значит, делится на 2, 3, 4, 5, 8. При п > 2 имеем произведение пяти последовательных натуральных чисел п - 2, п - 1, п, п + 1, п + 2. Из этих пяти чисел, по свойству 9, одно обязательно делится на 5, хотя бы одно — на 3, хотя бы одно — на 4 и, кроме того, есть еще хотя бы одно четное число, т. е. число, делящееся на 2. Тогда, по свойствам 5 и 7, произведение этих пяти чисел делится на произведение чисел 2 и 4, т. е. делится на 8. ■

Теперь поговорим о конкретных признаках делимости — на 2,

3, 4, 5 и т. д. В формулировках признаков мы впервые используем словесную конструкцию необходимо и достаточно. Обычно, если из условия А следует условие В (прямая теорема), то математики говорят так: В является необходимым условием для А. Если же из условия В следует условие А (обратная теорема), то математики говорят так: В является достаточным условием для А. Если же и из А следует Б, и из Б следует А, математики используют словесную конструкцию необходимо и достаточно (или тогда и только тогда).

Признак делимости на 2. Для того чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2.

Алгебра, 8 класс (А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев) 2008

Страница № 165.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс