Страница № 172. Учебник

Учебник: Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев. — 4-е изд., перераб. — М.: Мнемозина, 2008. — 240 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, «172», 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Доказательство. Возьмем произвольное натуральное число а и докажем, что найдутся два соседних простых числа, расстояние между которыми больше а. Составим натуральное число с = 1 • 2 • 3 •... • а • (а + 1). Оно делится на 2, 3, 4, 5, ..., а, а + 1. Тогда число с + 2 делится на 2, число с + 3 делится на 3, число с + 4 — на 4 и т. д., число с + а — на а, число с + а + 1 — на а + 1 (см. свойство 2 в § 29). Это значит, что а подряд идущих чисел с + 2, с + 3, с + 4, ..., с + а, с + а + 1 — составные, т. е. расстояние между ближайшим к с + 2 простым числом (слева) и ближайшим к с + а + 1 простым числом (справа) больше а.

Если натуральное число а не делится на натуральное число Ь, то рассматривают деление с остатком. Например, при делении числа 37 на число 15 в частном получается 2 (неполное частное) и в остатке 7. При этом имеет место соотношение 37 = 15-2 + 7. Вообще справедлива следующая теорема.

Теорема. Если натуральное число а больше натурального числа b и а не делится на Ь, то существует, и только одна, пара натуральных чисел q и г, причем г < Ь, такая, что выполняется равенство

Например, для а = 37, Ъ = 15 такая пара чисел найдена выше: q = 2, г = 7 — при этом остаток г меньше делителя Ъ.

Доказательство. По условию, b < а. Рассмотрим числа Ь> 2Ь> ЗЬ, 4 Ь₉ .... Начиная с некоторого места все они будут больше числа а. Первое из чисел такого вида, которое станет больше числа а, обозначим (q + 1 )Ь> т. е. qb + b. Следовательно,

Итак, существование интересующей нас пары чисел q_y г доказано. Докажем теперь, что такая пара единственна.

Предположим, что существуют две различные пары натуральных чисел г_х) и (q₂; г₂) такие, что

Сразу заметим, что если г_х = г₂ = г, то из равенства bq_x + г = bq₂ + г получим q_x = q_2f т. е. пары (q_x; г_х) и (q₂; г₂) одинаковы; если q_x = q₂ = q,

Алгебра, 8 класс (А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев) 2008

Страница № 172.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс