Страница № 171. Учебник

Учебник: Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев. — 4-е изд., перераб. — М.: Мнемозина, 2008. — 240 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, «171», 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Пусть теперь а — составное число. Тогда его можно представить в виде а = а_хс_х, где оба множителя отличны от 1 и меньше а. Если хотя бы один из множителей — простое число, то свойство доказано. Если оба множителя — составные числа, то рассмотрим число а_х и представим его в виде а_х = а₂с₂, где оба множителя отличны от 1 и меньше а_х. Если хотя бы один из множителей — простое число, то свойство доказано, если нет, то представим а₂ в виде произведения чисел, меньших, чем а₂, и т. д. Тогда либо на каком-то шаге обнаружится простой множитель, либо придется предположить, что процесс составления чисел а_х, а₂, а₃, а₄ и т. д. бесконечен. Но бесконечным он быть не может, так как все указанные числа разные и меньше а, поэтому их — конечное множество. Следовательно, на каком-то шаге обнаружится простой делитель числа а.

Простые числа обладают многими интересными свойствами. Остановимся на двух из них.

Теорема 2. Множество простых чисел бесконечно.

Доказательство. Предположим противное, что множество простых чисел конечно. Тогда можно выписать все простые числа: р_х, р_2У р₃, ..., p_k. Составим теперь число а следующим образом: ^{а =} Р1Р2Р3 • ... р* + 1. По теореме 1, у числа а есть хотя бы один простой делитель, т. е. число а делится на одно из чисел р_х, р₂, Рз> •••> Рь (ведь мы предположили, что других простых чисел нет). Но 1 не делится ни на одно из этих чисел, значит, по свойству 3 из § 29, число а не делится ни на одно из этих чисел. Получили противоречие, поэтому сделанное предположение неверно, т. е. на самом деле множество простых чисел бесконечно.

Исследователей всегда интересовал вопрос о распределении простых чисел среди натуральных чисел. Выпишем подряд простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. Назовем расстоянием между соседними простыми числами их разность. Обратите внимание, что в выписанной последовательности эти расстояния равны, соответственно, 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6. А между соседними простыми числами 119 и 127 расстояние равно 8. Вообще имеет место следующая теорема.

Теорема 3. Расстояние между двумя соседними простыми числами может быть больше любого наперед заданного натурального числа.

Алгебра, 8 класс (А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев) 2008

Страница № 171.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс